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一、选择题

1． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C. 2． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1用排除法令这时方法2

所以当方法3设

对应的矩阵为A ，则

则

即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.

则

时，f 为正定二次型.

为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于

时，

由

，用

使

则（ ）.

右乘两边，可得

由

左乘

这与可得

矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，

则当（ ）时，此时二次型为正定二

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A

的3个顺序主子式为

所以当时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.

方法4令

则当，即时，二次型可化为

所以f 为正定的.

3． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解, 则（

）.

A.

B. C.

D.

【答案】C 【解析】设

与

的解空间分别为则所以

即证

4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如

则为（ A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E.

.

）

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5． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则. 则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解

有惟一解 只有零解 有零解.

C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】

未知量个数

二、分析计算题

6． 设

①若A 有特征值4, 1, - 2, 求②设

【答案】①易知:

因为4, 1, -2是A 的特征根, 代入上式, 得

由此解得②因为是亦即当

的特征向量, 故存在

使

（1）

是B 的特征值. 但易知

或4, 即

时由（1）得

即

由此得当 7． 以

表示数域P 上的2阶矩阵的集合. 假设

为两两互异的数, 且它们的和

不等于零. 试证明

是的一个特征向量, 求k.

故

或

即时仍由（1）得

解此得知