2018年电子科技大学数学科学学院835线性代数之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设明：
（1）当A 实对称时，则是，一阶可逆阵. （2）A 是幂等阵当且仅当
（3）A 是实对称且幂等阵当且仅当
或
.
于是A 有两种满秩分解，从而存在r 阶可逆阵P ，使得
（1）
注意到L 是实行满秩矩阵，则
故LH 是r 阶可逆阵 （2）必要性. 若
分性. 若
则
（3）必要性. 由式（1）得
注意到
于是
充分性. 若
类似可证第二种情况.
则
且
则
L 行满秩右可消，由H 列满秩左可消，立得
充
【答案】 （1）当A 实对称时，则
是秩为，. 的满秩分解，即H 为
的列满秩矩阵，L 为
的行满秩矩阵，证
2． （1）设明:
不是
是线性变换的特征向量；
的两个不同特征值, 是分别属于的特征向量，证
是
（2）证明:如果线性空间V 的线性变换以V 中每个非零向量作为它的特征向量. 那么数乘变换.
【答案】 （1）反证法. 设
于是
因故量. 由（1）
知
，属于同一个特征值. 因此V 中任一非零向量都是属于同一特征值的特征向量，
不全为零. 但由定理8，
不能是特征向量.
由题设它们都是
是线性无关的，矛盾.
（2）任取V 的两个非零向量的特征向量，且它们的和也是特征向
就
是数乘变换.
3． 判别下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是:
（1）在线性空间V 中，（2）在线性空间V 中，（3）在中，（4）在（5）在（6）在（8）在
中, 中，中，中，
时，
，其中，其中，有
故是线性变换. 当但这时当
不是线性变换.
时是线性变换.
，故不是线性变换.
故
不是线性变换.
，其中，其中
是一固定的向量; 是一固定的向量;
;
是一固定的数;
;
是两个固定的矩阵.
（7）把复数域看作复数域上的线性空间，【答案】 （1）当
，则有
t
.
（2）当
时，
（3）计算下面式子
.
（4）由
易知
. 故
（5）由于
知
故
是
上线性变换.
（6）由于
故有
即
是线性变换.
（7）不是，例（8）是.
4． 设变换:
定义为
（1）证明:是线性变换. （2）求出在下述基下的矩阵:（3）求出在下述基下的矩阵:（4）写出
到
的过渡矩阵.
【答案】 （1）由已知, 得
因为
所以是线性变换. （2）由
及
是线性变换
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