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一、分析计算题

1． 化二次型

【答案】解法1配方法. 解法2

的矩阵为

因为

为标准形，并给出所用的非退化的线性替换.

故经非退化的线性替换

化为标准形

2． 设A 为n

阶方阵

（1）试证:

（2）如A 为非奇异，试证（3）试证:

E 为n 阶单位矩阵，为A 的伴随矩阵，

；

为A 的行列式.

（4）如A 的秩为n ，试证:

（5）如A 为非奇异，试证:

（6）如A 为非奇异，试证；【答案】（1）设

则

的秩也为n ;

;

由于因此

（2） 仿（1）还可证由定义得

（3）设子式（

再设

那么

为行列

中划去第j 行和第i 列的代数余

由此即证（4）若秩即秩（5）因为

由上面②式两边取逆可得

另一方面②式中，用

换A 得

由③，④即证（6）证明对一切事实上，由于因此（i ）当秩

时

（不一定A 非奇异）都有

A 可逆，用

左乘①式两边可得

那么由上面①式有

所

所以

阶行列式），其中每行提出公因子a 后，可得

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⑥

在⑥式中用A 换得

⑦

（ii ）当秩

时，则秩

从而秩

放

综合⑦，⑧两式，即证⑤成立.

3． 设A 是数域K 上的一个

令

（1）证明:W 关于（2）设线性方程组

的运算构成

，矩阵，

B 是一个m 维非零列向量.

的一个子空间

；

的增广矩阵的秩为r. 证明W 的维数

（3）对于非齐次线性方程组

求W 的一个基. 【答案】 （

1）显然因为存在

. 所以

即

, 此说明W 是

的子空间

.

, 由题设，

其解空间V 的维数为

，存在

的解.

. 显然，这是W 形到V 的一个双射. 又

，则

所以且

可见W 与V 同构，从而有

.

.

,

. ，使

所以

是线性方程组

（2）对线性方程组

任取

.

这样，存在W 到V 的映射，

，存在

（3）由（2）W 与如下齐次线性方程组解空间同构.