2018年长安大学环境科学与工程学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1.
设的所有矩阵.
【答案】(1)对系数矩阵A 进行初等行变换如下:
E 为三阶单位矩阵,求方程组Ax=0的一个基础解系;求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
(2)显然B 矩阵是一个4×3矩阵,设对矩阵(AE )进行初等行变换如
下:
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
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即满足AB=£;的所有矩阵为其中
为任意常数.
2. 设
为三维单位列向量,
并且
记
证明
:
(Ⅰ)齐次线性方程组Ax=0有非零解; (Ⅱ
)A
相似于矩阵
则
故
Ax=0有非零解.
(Ⅱ)由(
Ⅰ)知向量.
又且另外,由
故
可知
为A
的特征值,为4的2重特征值,
为对应的特征向量
.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A 有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】(Ⅰ)由于A 为3
阶方阵,且
为两个正交的非零向量,从而线性无关. 故
线性无关的特征向量,
记
3. 已知矩阵可逆矩阵P ,使
则
即A 相似于矩阵
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似,若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是当
时,由秩
知
有2个线性无关的解,即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量,矩阵
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A 可以相似对角化,因此矩阵A 和B 不相似。 4.
设
当a , b 为何值时,存在矩阵C 使得AC-CA=B,并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知,若C 存在,则必须是2阶的方阵,设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在,则此线性方程组必须有解,于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下,
故当a=-1,b=0时,线性方程组有解,即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
,
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
为任意常数.
二、计算题
5. 按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (4)2 4 1 3;
(5)1 3... (2n-1) 2 4 ... (2n ); (6)1 3... (2n-1) (2n ) (2n-2)... 2. 【答案】(1)此排列为自然排列,其逆序数为0;
(2)此排列的首位元素的逆序数为0; 第2位元素1的逆序数为1; 第3位元素3的逆序数为1; 末位元素2的逆序数为2, 故它的逆序数为0+1+1+2=4;
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