2018年长安大学环境科学与工程学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
2． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
线性无关.
线性无关，得齐次线性方程组
非零可知，
是A 的个
令
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
即
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
故
3．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
知
的基础解系，
即为
的特征向量
4．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
二、计算题
5． 设n 阶矩阵A
的伴随阵为
（1
）若
（2
）【答案】
⑴因
要证与
用反证法：
设则
当
时，
上式成为
是可逆矩阵，
用
左乘上
此
的所有元素均为零. 这导致
由矩阵可逆的充要条件知
.
时
，结论成立；
于是
证明：
式等号两边，得A=0.于是推得A 的所有n-1阶子式，
亦即
为可逆矩阵矛盾. 这一矛盾说明，
当（2）分两种情形： 情形1
:情形2
:
由（1）
,
在两边取行列式，得
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