当前位置：问答库＞考研试题

一、解答题

1． 设线性方程

m

【答案】

对线性方程组的增广矩阵

试就

讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.

作初等行变换，如下

（1

）当

即

且

时

则方程组有惟一答:

（2）

当

且

即

且

时

则方程组有无穷多可得其一个特解

解.

此时原方程组与同解，

解得其基础解系为

为任意常数. 此时方程组无解. 时记

证明：

故原方程组的通解为

（3

）当

（4

）当

2．

设

为三维单位列向量，并且

（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A

相似于矩阵

即

时

此时方程组无解.

【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且

第 2 页，共 39 页

则

故Ax=0有非零解.

（Ⅱ）由（Ⅰ

）知向量.

又且

另外，由

故可知

为A 的特征值

，为4的2重特征值

，

为对应的特征向量.

为A 的3个

为4的单重特征值.

故A

有零特征值

的非零解即为

对应的特征

为两个正交的非零向量，从而线性无关.

故

线性无关的特征向量，

记

3． 已知A

是

则

即A

相似于矩阵

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

的解.

对

贝腕阵

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

由

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

得到

所以矩阵

的基础解系为

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

对

线性表出，

故可设

作初等行变换，有

于是

则既可由

线性表出，也可

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

其中t 为任意常数.

第 3 页，共 39 页

4．

设矩阵求一个秩为2的方阵B. 使

【答案】

令

即

取.

进而解得的另一解为则有

.

的基础解系为：

方阵B 满足题意.

令

二、计算题

5． 设

问

是不是向量空间? 为什么？

是向量空间, 理由是

【答案】（1

）①非空

：则有因

故

那么

即

对向量加法不封闭.

②对于向量的加法和数乘封闭. 事实上

，

（2

）不是向量空间. 事实上，

取

6． 设A , B 都是正交阵，证明AB 也是正交阵.

【答案】

方法一、由定义，知AB 为正交阵.

方法二、因A , B 为正交阵，故A ，B 均可逆，

且

，从而AB 是正交阵.

于是AB 可逆，且有

第 4 页，共 39 页