2017年北京林业大学生物科学与技术学院725数学(自)之概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
即
将（*）式两端对求导，并注意到
有
这说明
由此可以得到则
从而，进一步，
不等式的下界.
2． 设为自由度为n 的t 变量, 试证:
为的UMVUE.
C-R 下界为
故此UMVUE 的方差达不到C-R
记
求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它
我们将（**）式的两端再对H 求导，得
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
由特征函数性质知从而由, 再按依概率收敛性知
这就证明了
3． 设
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）. 是来自
的样本，α＞0已知，试证明，
是
于是
的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为
所以λ的费希尔信息量为这就是说的任一无偏估计的C-R 下界为
又
这就证明了 4． 设
【答案】由
服从均匀分布
可知
试证
及
都是的无偏估计量，哪个更有效？
的密度函数分别为
从而
故，由又可算得
从而
故
即
更有效.
知两者均为的无偏估计.
是
的有效估计，从而也是UMVUE.
事实上，这里x （3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的. 5 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:．（0, 1）相互独立.
【答案】设
则
所以•由此得和V=X/Y的联合密度为
所以
6． 设数为
可分离变量, 即U 与V 相互独立. 是来自均匀分布
其中
的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.
（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须
与
的联合分布为
所以的后验分布为
要使
与
这是一个参数为
与
的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.
（2）若选用后验期望估计，则
7． 设按有无特性A 与B 将n 个样品分成四类，组成
表
列联表：
其中n=a+b+c+d，试证明此列联表独立性检验的统计量可以表示成
【答案】
检验的假设问题为
与B 是独立的. 统计表示如下：