2017年北京市培养单位华大教育中心803概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，
（II
）设（III ）证明故得X 的概率密度为
（II
）设
为样本
的观测值，则似然函数为
令故
的最大似然估计量为
解得
故
的无偏估计量。
设Z=X-Y。
为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。
的最大似然估计量
；
（I ）求Z 的概率密度
其中是未
【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且
（III ）由于
2． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
由
得
两边取对数解得
所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点
为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.
数为6的概率大于1/2.
3． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为所以得
第 2 页，共 38 页
得
进一步由
4． 同时掷5枚骰子，试证明：
（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有（1）
2枚组成“一对”，共有以
（3）先将5枚骰子分成三组，其中二组各有2枚殷子，另外一组只有一枚殷子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有
种可能，所以所求概率为
（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有（53）种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以
（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，由此得
（6）五枚骰子出现的点数全部一样共有6种情况，所以
5． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.
【答案】因为
第 3 页，共 38 页
个样本点，这是分母，以下分别求之.
（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任取
种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚骰子出现的点数都不一样，所
种分法，
所以A-B 与C 独立.
6． 设随机变量序列证:
【答案】己知则
对任意的
由切比雪夫不等式得
即
, 结论得证.
是方差一致有界的随机变量序列, 且当
任
对
存在M>0,
当
时,
一致地有
时,
有
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
试
7． （伯恩斯坦大数定律）设
证明:
【答案】
记
所以
服从大数定律.
由的任意性知
所以由马尔可夫大数定律知
8． 设数为
是来自均匀分布
其中
服从大数定律.
的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.
（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须
与
的联合分布为
所以的后验分布为
要使
与
第 4 页，共 38 页