2017年北京林业大学水土保持学院725数学(自)之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设分布函数列敛于分布函数F （x ）.
【答案】
对任意的点
:
则有
（1）
这时存在N , 使得当n>N时, 有
对任意的当
时, 有
由（1）, （3）式可得
即有
2． 总体
（1）证明
, 结论得证.
其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；
从而
于是，
这说明
是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为
因而θ的最大似然估计为
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弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:
取M 充分大,
使有当
使有
时,
有
在
当
再令
上一致收
时,
有
,
对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分
必存在某个i , 使得由（2）式知,
为取自该总体的样本，为样本均值.
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
则
显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围
下求的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为
故
从而
这说明
不是θ的无偏估计，而是θ的渐近无偏估计. 又
因而 3． 设
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令
, 证明:则
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
4． 设
为来自指数分布
服从大数定律. 的样本，
为来自指数分布
的样本，且两组
, 有
又设
为一列常数, 如果存在
是θ的相合估计.
常数c>0, 使得对一切n 有
【答案】不妨设
样本独立，其中
（1）求假设
是未知的正参数.
的似然比检验；
（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量
在原假设成立下的分布.
【答案】样本的联合密度函数为
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参数空间分别为
下参数的最大似然估计
为
则似然比统计量为
而
在
由微分法容易求出在
下参数的最大似然估计
为
由求导可知，函数为
或者
这就证明了（2）的结论.
为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写
注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得
再注意到
诸
与
诸
5． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.
【答案】泊松分布的概率函数为数为
对来自泊松分布
的样本
的后验分布为
若的先验分布为伽玛分布，其密度函
间的独立性，在原假
设
成立下，有如下抽样分布
：
即的后验分布为共轭先验分布.
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仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的