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一、证明题

1． 设

是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，

（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是

的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为

由此可见（2）

是的无偏估计.

是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为

由此可见

（3）反证法，倘若

是p （1-p ）的一个无偏估计.

是1/p的无偏估计，则有

或者

上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在. 2． 设计.

【答案】由于

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独立同分布，，证明：是的相合估

这就证明了

，是的相合估计.

3． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明：

【答案】

4． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

的概率分别

是

证明

：

【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证，

由上题的结论知

[2]仿题[1]有

5． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，

即对任意的实数

与X 有相同的偏度系数与峰度系数.

【答案】因为j

所以

即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为

所以Y 与X 有相同的峰度系数.

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6． 设随机向量（

令

）间的相关系数分别为且

证明:两两不相关的充要条件为

则

【答案】充分性:若

同理可得

由此得必要性:若由此得

7． 设

【答案】由

服从均匀分布

可知

试证

及

都是的无偏估计量，哪个更有效？

的密度函数分别为

从而

故，由又可算得

从而

故

即

更有效.

知两者均为的无偏估计.

两两不相关.

两两不相关, 则由上面的推导可知

事实上，这里x （3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的.

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