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一、证明题

1． 记

证明

【答案】

由

得

2． 设

是来自

的样本，证明

为

没有无偏估计.

【答案】（反证法）假设的无偏估计，则

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即没有无偏估计.

3． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

即A ，B 相容.

4． 设是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为

（1）求此分布的充分统计量；

（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题

的拒绝域；

（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到

由此可见

是

的无偏估计.

当

较大时，

拒绝原假设

是合理的.

故对

的拒绝域为

其中c 由概率等式可以证明，

当

在原假设由等式

成立下，有

可得

记

是分布的

分位数，可得

譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由

可知

时，

所以

c=21.887.

时，将拒绝原假设

从而有

认为

利用分布的分位数可确定临界值c.

时

，

确定. 为了确定c , 需要充分统计量

由此可

得

的分布.

或

者

在原假设

成立下，有

这

里

可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，故由中心极限定理

知

, 从而有

故由等式

可得

记

即

若n=15,

5． 设

证明:

查表得

从而

为独立的随机变量序列, 且

服从大数定律.

所以由

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

6． 对任意的事件A ，B ，C ，证明：

（1）（2）【答案】⑴

（2）因为

所以

7 来自正态总体．对称, 且

【答案】记正态分布的样本中位数

的密度函数为

为标准正态分布的分位数，则有

【答案】因为的独立性可得

的容量为

的样本中位数是证明

的密度函数关于

f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（