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一、证明题

1． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，

即对任意的实数

与X 有相同的偏度系数与峰度系数.

【答案】因为j

所以

即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为

所以Y 与X 有相同的峰度系数.

2． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.

【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有

所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得

P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.

3． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为

的泊松分布.

【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有

这表明：Y 服从参数为

的泊松分布.

4． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体玛分布

，其密度函数为

则的后验分布为

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，其中已知，为其样本，取的先验分布为倒伽

即

值已知）的共轭先验分布.

5． 设总体为韦布尔分布

这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均

其密度函数为

现从中得到样本证明仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.

为

【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数

因而最小次序统计量这说明.

的分布函数为

,

样本方差分别为

6． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为

, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

证明:

由

得

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7． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令

（1）

（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得

所以Z 〜N （0, 1）.

（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以

所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式

考虑到而

所以

故有

即X 与Z 不独立.

证明：2P （ABC ）=P（AB ）

证明:

8． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.

【答案】因为

上式移项即得结论.

二、计算题

9． 40种刊物的月发行量如下（单位:百册）:

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