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一、证明题

1． 设f , g 为D 上的有界函数. 证明：

(1

) (2

)

【答案】(1) 对任意的

有

于是

故

(2) 对任意的

有

于是

故

2．

设

明

:

在

【答案】由于

在

上可积.

在

上连续，所以它在

时，有

因此作

事实上，从而

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上连续

，

在上可积.

当时

，. 证

上一致连续，即

的分割之后，在

只要

上，若的振幅则

，必有

的振幅

由此知，在上，若必有故

这样，件的

必要性对上述的

先找和

使式(1) 成立. 再由分割

使得

在上的可积性，利用第三充要条

于是由式(2) 知

最后由第三充要条件的充分性即知，

3．

设点.

【答案】对任意

当x 充分大时，

有

由

4． 证明：若

由致 密性定理，存在

不存在，这与

的子列

从

的左方或右方收敛于

但

不收敛，即

与

在

知

在

乂

所以由连续函数的零点存在定理知，存

在

上严格单调递增，所以f (x ) 在

在

上有界.

使

内有且仅有一个零点.

在

上有连续导数，

且

在

上可积.

试证

：

在

内仅有一个零

上只有第一类间断点，则在

【答案】

假设

上无界，则对每一个自然数n ,

存在互异点列

只有第一类间断点矛盾.

使得

5． 设函数f 在点a 的某个邻域上具有二阶导数. 证明：对充分小的h , 存在

【答案】设f 在与G (x ) 在

内具有二阶导数. 不妨设

令

使得

上满足拉格朗日中值定理的条件，故有

则

上满足柯西中值定理的条件，故存在

再令

则其中

在于是

从而

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令

则有

且

6． 设在

上可积. 证明：

对右边第一个积分作代换

于是

(1)

若(2)

若

7． 证明：若

【答案】由

又因为

数列

也有上界. 设正数

和

是收敛的.

为奇函数，则为偶函数，则为递增数列，

故

故

为递减数列，且

则

与

都存在且相等.

f 上界，因而则得

(1) 若为奇函数，则(2) 若为偶函数，则【答案】因为

可知，数列为递减数列，所以是

的一个上界. 由

是有界数列，设正数M , 使得对一切n ，

于是，数列

可得

与

都存在. 再由

综上所述，得

8． 证明反常积分

【答案】因为

都是单调有界的，所以

所以只需证明记

收敛即可.

则对任意u>l,

g (x ) 在

上单调递减，并且

由狄利克雷判别法可知

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