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一、证明题

1． 设

(1) (2) (1) 设(2) 设

右边

2． 证明

:

【答案】令

则

原式

对上式右端第二个积分，作变换

原式

这里用到了在

3． 求证:

(1)

若(2)

若

则则

，所以对任给定

存在m ，当

时，便有

于是，对

则有

故

则 右边

则

左边. 左边.

证明：

【答案】可以看出交换a , b 的位置，这两个等式两边的值都不变. 不妨假设

【答案】(1) 因为有

注意到，当取定时，

便是一个有限数，再取

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使得当时，有

这样，当时，有

从而(2) 因为

对

4． 设

应用第(1) 小题结论，

即得求证：

【答案】方法一：

联合

与当当即得

5． 证明下列不等式：

【答案】(1)

所以有

(2)

所以有

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即得和

两种情况考虑

.

方法二：分

时，

，

时，

6． 设连续函数

【答案】

用反证法. 若

(1)

若(2)

若(3) 若存在令所以存在(4) 若存在从而存在：

使. 则

那么那么

其值域则一定存在使

则可分四种情况讨论.

这与①式矛盾. 也与①式矛盾.

使

使使

即

这与假设

类似可得矛盾.

矛盾.

二、解答题

7． 求下列曲线在第一象限围成的图像的面积，

【答案】设区域

那么在变换

下，区域

波 对应地映为

此时有

于是有

因此，所求面积为

8． 设向量函数

定义如下

其中定了唯一的

隐函数

并求

在

上连续，由

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证明：在点的某邻域内，向量函数方程确

【答案】计算得知

得