2017年大连海事大学数学系602数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若在
上为连续函数，为连续可微的单调函数，则存在
【答案】设
则
于是有
由假设使得
2． 证明：当
时有不等式
【答案】令
则
于是
使得
故
3． 试确定函数项级数
【答案】由于
所以当
时级数绝对收敛，
当
时级数发散，当
时，因为
因而级数发散，于是级数的收敛域为(-1，1) .
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使得
为单调函数，故不变号，从而根据推广的积分第一中值定理，存在
因在上递减，
且
根据积分第二中值定理，存在
的收敛域，并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性.
设
当
求证f (x ) 在(-1，1) 内连续
.
时有
由根式判别法知上连续，由
收敛，
所以
的任意性知f (x ) 在(-1，1) 内连续
.
在上一致收敛，从而f (x )
在
在(-1，1) 内非一致收敛.
事实上，设
取
则
即 4． 设集
证明:复合函数【答案】设点存在又且
其中
使对一切
在(-1，1) 内不一致收敛于0，所以函数项级数
在xy 平面中的点集E 上一致连续
在D 上一致连续，
在E 上一致连续. 为D 上任意两个点. 由于只要
在E 上一致连续，因此，对上述的时，有
因此
故复合函数
5．
设悬链方程为
证明：(1)
【答案】(1) 由弧长公式得
由定积分的几何意义可得
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在(-1，1) 内非一致收敛. 把点集E 映射为平面中的点
在D 上一致连续，
从而对任给的就有
存在
使当
在E 上一致连续.
它在
上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为：(2)
(3)
该曲边梯形绕x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为
(2) 旋转体体积为
侧面积为
所以
(3) x=t处的截面面积为
所以
6． 设f (z ) 是在
⑴数
【答案】
即这里
7． 已知在
证明:函数列【答案】由
上，函数列
由比值判别法知
一致收敛于一致收敛于在上分别一致收敛于
函数列
可得
在上分别一致收敛于
又故
在
上一致收敛于
一致收敛于
绝对收敛.
⑵绝对收敛.
内的可微函数，且满足：
其中
任取
定义
证明：级
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