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一、证明题

1． 求证

：

在

上一致收敛. 可得

又

收敛，由M 判别法即得原级数在

先求函数

上一致收敛.

为奇函数，只需讨论

的

【答案】方法一：由

方法二：记情形

.

的最大值，由于

又

故

是函数

的最大值点. 因此

2． 设当

时(x ) , 所以

者中至多有一个在x=0连续.

而

从而

证明：

两者中至多有一个在x=0连续.

因为

时

这与题设

矛盾. 故f 与g 两

【答案】反证法. 假设f (x ) 、g (x ) 都在x=0连续，

则

二、试解下列各题

3． 在什么条件下，函数

【答案】（1）设c=0,

此时

见，当c=0时，当且仅当

（2）设

此时

的反函数就是它本身？

要使反函数存在必有

或

的定义域为

要使它的反函数存在，必须有除当成立.

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函数

的反函数是

它们是同一函数的充要条件是即（a+d）（a —d ）=0, b （a+d）=0.可

时，它的反函数就是它本身.

它的反函数是等式由此可知，当

要对时，当且仅

时也

外的一切实数成立. 去分母后，再比较x 的系数，得到

时，它的反函数就是它本身. 另外，注意到在情形（1）中，

综上所述，当且仅当就是它本身.

4． 求指数

使得曲线积分

则

并且a+d=0或时，函数的反函数

与路线无关并求k.

【答案】设

由

得

这时

所以积分与路径无关，由于

及

所以

5． 方程

在哪些点的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数

所以I

且

令令

每一邻域内都连续

.

6． 研究函数

【答案】

处的各阶导数. 故

在

处连续

.

于是

一阶导数

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【答案】先求定义域. 由

_

则

由

故方

程

知即

在D

在D 内每一邻域内有定义且连续；

可在D 上惟一确定隐函

数

于是即二阶导数

因为

7． 求空间曲线

所以三阶导数不存在，并且当

时都不存在.

上对应于点x=l的处的切线方程与法平面方程. 【答案】当x=l时，有

解之得设

通过计算易知，

在点

有

于是，切线方程和法平面方程分别为：

和

在点

有

于是，切线方程和法平面方程分别为：

和

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于是对应于X=1的点是