2017年东北石油大学数学与统计学院705数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：
(1) 方程(2) 方程【答案】(1)
令
的开口向上，于是
.
个不同的实根.
使得
(2) 令
并且
但这是不可能的. 因为
有一个实根
使得
故方程并且
(ii ) 设n 为正奇数. 如果方程.
在区间不妨设
则
.
则
当
(这里c 为常数) 在区间
内不可能有两个不同的实根；
U 为正整数，p 、q 为实数) 当n 为偶数时至多有两个实根；
则
由方程
得
抛物线
内有两
当n 为奇数时至多有三个实根.
内恒为负. 用反证法证明原命题. 如果在区间
由罗尔中值定理知，存在在区间
内不可能有两个不同的实根.
时，
使得
使得
它在实数集R 上有且仅
时，显然成立；当
但这是不可能的. 所以方程
(i ) 设n 为正偶数.
如果方程
有三个以上的实根，则存在实数
.
根据罗尔中值定理，
存在
是奇次方程
当n 为偶数时至多有两个实根.
有四个以上不同的实根，则根据罗尔中值定理，
存在
但这是不可能的.
因为
是偶次方程
当n 为奇数时至多有三个实
它在实数集R 上最多只有两个实根. 故方程.
根
2． 证明：在n 个正数的和为定值条件
下，这n 个正数的乘积术中值
【答案】
的最大值为
并由此结果推出n 个正数的几何中值不大于算
令
解得所以
由题意知，最大值在惟一稳定点取得.
故
*
因此
3． 证明函数
在区间
上不一致连续，但是对于任意a>0, 在
则
. 上一致连续.
从而
在区间
【答案】(1)
方法一取
上不一致连续. 方法二
取
则存
在
但是存在
上不一致连续.
(2) 当
时，
当使得
取
从而
虽然满
足
在区间
’时，有
取即
时，有
上一致连续.
4． 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
【答案】(1
)
足拉格朗日中值定理的条件，故至少存在一
点
于
是
由
知
因为
使
得
所以
因
而
在上满而故
(2)
值定理的条件，
于是存在
5． 设
在有限区间上有定义. 证明：
对
设
从而
若
由
即
在上非一致连续，则
. 由
故
中相应的子列
在上一致连g
若
是中的柯西列，则
且
存在正整数
存在
虽然
，
因
当
时有
时有但
，
令
使得
则
又因
在
故
上满足拉格朗日中
故
池是柯西列.
【答案】
在上一致连续，则
为柯西列
.
对
有界，因此
是中的柯西列，
则对上述的
中存在收敛子列
也收敛于相同的极限，
从而穿插之后序列亦收敛，即为柯西列，
但其像序列
恒有，不是柯西列，矛盾. 所以在上一致连续. 有
证明f 为常量函数.
所以
6． 设定义在R 上的函数f 在0、1两点连续，且对任何
【答案】由
因为f 在x=l连续，所以当x>0时，
知f (x ) 是偶函数. 因为
而当
时
又
故f 为常量函数.
二、解答题
7． 设
求级数
的和
的收敛区间为
则则
从而
【答案】设令令则