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一、证明题

1． 试应用

定义证明

肘，

从而对任给

取

则当

时，

所以

2． 证明：函数

【答案】下面用归纳法证明

命题成立. 设.

其中

在x=0处n 阶可导且

为次数不超过3n 的多项式. 当n=l时，

其中

满足要求，则

因为故

的次数不超过3n ，所以

的次数对任意

成立. 由于对任意的

所以

的次数不超过

于是

其中n 为任意正整数.

【答案】因为当

二、试解下列各题

3． 设定义在

上的函数，在任何闭区间[a, b]上有界. 定义

上的函数：

试讨论m （x ）与M （x ）的图像，其中 （1）

（2

）

【答案】（1）如果把x 看作时间，那么m （x ）表示从t=a到t=x期间f （x ）的下确界（有时是最小值）.M （x ）则表示从t=a到t=x期间f （x ）的上确界（有时是最大值）. 函数f （x ）=cosx在区间=cosx; 当

内单调递减到最小值一1，并且f （0）是它的最大值. 于是，当时，m （x ）=—1.

对一切

总有M （x ）=1.即

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时，m （x ）

（2）同理可得

（1）与（2）的图像分别如图1和图2所示

.

图1 图2

4． 求下列积分

(1) (2) (3)

【答案】⑴

由M 判别法知

在

内一致收敛. 所以

(2) 由课本例题5，

得

(3) 因

为

所

以

不是函

数

的瑕点，因此含参量非正常积

分

(提示：可利用公式

上一致收敛，故由(2) 的结论有

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5．

设

为连续函数

为任意开集

为任意闭集，试问，

是否必为开集？

是否必为闭集？

【答案】不一定，反例： (1) 对于连续函数(2) 对于连续函数

6． 求下列函数的周期：

（1）

（2）

（3）

的周期的周期是的周期

.

上的傅里叶级数.

另外

因此

在

上的傅里叶级数为

8． 设以

4和6的最小公倍数是12,

故 做

的周期是

【答案】（1）

（2）由tanx 的周期是可知，（3

）

的周期

的周期是

7． 展开

在

为开集，但

为开集，但

不是开集。

不是闭集.

【答案】因为f (x ) 为偶函数，所以

为新的自变量变换下列方程：

【答案】⑴所以

将

代入原方程，并化简得，

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