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一、计算题

1． 设

来自伽玛分布族

的一个样本, 寻求

的充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为:

由因子分解定理,

或

是充分统计量.

2． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的小学学生平均每周看8h 电视. ”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字. 为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间（

）？

【答案】由于本题中样本量较大，可认为样本均值服从正态分布，依题意，需要建立的原假设和备择假设为

若取

则

拒绝域为

由样本观测值计算得：

因而拒绝原假设，认为这位校长的看法是对的.

3． 保险公司的某险种规定：如果某个事件A 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额a 元，而事件A 在一年内发生的概率为p. 如果保险公司向投保户收取的保费为ka ，则问k 为多少，才能使保险公司期望收益达到a 的10%?

【答案】记X 为保险公司的收益，则X 的分布列为

表

1

所以保险公司的期望收益

为

中解得

所以取

即可满足要求.

表2

样本标准差为s=2h.问是否可以认为这位校长的看法是对的

由即

从

注意：这里k 是p 的严格増函数，具体有

由此可见，若特定事件A 发生的概率超过0.4时，再参加此种保险己无多大实际意义了.

4． 设回归模型为

试求

的最大似然估计，它们与其最小二乘估计一致吗？

【答案】似然函数为

其对数似然函数为

导并令导函数为0，得到如下似然方程组

经过整理可以解出

可以看到

的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的.

，将其分别对（忽略常数项）

求

5． 请叙述下列事件的对立事件：

（1）A=“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B=“射击三次，皆命中目标”； （3）C=“加工四个零件，至少有一个合格品 【答案】（1）（2）（3）

6． 设二维随机变量（X ，y ）的概率密度为

（I ）求条件概率密度（II ）求条件概率

【答案】（I ）X 的概率密度为

“掷两枚硬币，至少有一反面

“射击三次，至少有一次不命中目标 “加工四个零件，全为不合格品

当x>0时，Y 的条件概率密度为

（II ）y 的概率密度为

7． 一商店经销某种商品, 每周进货量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量, 且都服从区间（10, 20）上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量, 则可从其他商店调剂供应, 这时每单位商品获利润为500元. 试求此商店经销该种商品每周的平均利润.

【答案】记Z 为此商店经销该种商品每周所得的利润, 由题设知

由题设条件知（X , Y ）的联合概率密度为

于是

8． 从数字0, 1, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望.

【答案】记X 与Y 分别为第1次和第2次取出的数字, 则

所以

其中