2017年湘潭大学584概率论与数理统计(二)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设
是来自U （-1, 1）的样本, 试求
和
2． 设
是来自
的样本, 经计算
用
, 试求
【答案】均匀分布U （—1, 1）的均值和方差分别为0和1/3, 该样本容量为n , 因而得
【答案】因为
量的分布函数, 注意到t 分布是对称的, 故
（x ）表示服从t （15）的随机变
利用统计软件可计算上式, 譬如, 使用MA TLAB 软件在命令行输入0.8427, 直接输入
布在x 处的分布函数. 于是有
3． 设有容量为n 的样本A , 它的样本均值为mA. 现对样本中每一个观测值施行如下变换差、极差和中位数.
【答案】不妨设样本A 为
样本B 为
, 且
因而
, 样本标准差为^, 样本极差为RA , 样本中位数为
如此得到样本B , 试写出样本B 的均值、标准
则给出0.6854. 这里的
则给出
就表示自由度为k 的t 分
4． 设曲线函数形式为y=a+blnx，试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.
【答案】令u=lnx，v=y，则原曲线函数化为V=a+bu，即为一元线性回归的形式.
5． 设与是从同一正态总体独立抽取的容量相同的两个样本均值. 试确定样本容量且相互独立, 所以
n , 使得两样本均值的距离超过的概率不超过0.01.
【答案】由于
于是有
等价地,
最后结果表明, 只要样本容量n 多14. 就可使同一正态总体的两样本均值距离超过标准差的可能性不大于0.01. 这意味着, 只要样本容量较大, 两样本均值的距离不超过的可能性是很大的, 可达0.99.
6． 掷一颗骰子100次, 记第i 次掷出的点数为求概率
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得
这表明:掷100次骰子点数之平均在3到4之间的概率近似为0.9966, 很接近于1.
7． 设二维随机变量（X , Y ）服从二维正态分布
（1）求
【答案】（1）由于
所以
因为
所以
（2）因为
所以由E （X ）=E（Y ）=0, 得
又由对称性
所以得
点数之平均为试
【答案】由题意可得
（2）求X —Y 与XY 的协方差及相关系数.
这表明, 当
8． 设随机变量X 满足
【答案】由，
时, X-Y 与XY 不相关.
已知
及题设条件
得
从中解得
试求
二、证明题
9． 设随机向量（
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
10．（1）设布函数
其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
）间的相关系数分别为且
【答案】充分性:若
两两不相关.
两两不相关, 则由上面的推导可知
和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差的分
时, 样本极差的分布函数.