2018年兰州大学草地农业科技学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
2．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
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线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
由知
（Ⅱ
）
3．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
知
的基础解系，
即为
的特征向量
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
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4．
已知
其中E
是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
二、计算题
5． 举例说明下列各命题是错误的：
（1
）若向量组（2
）若有不全为零的数则
线性相关
，
（3
）若只有当
线性无关
，
线性相关，则
可由
，
使亦线性相关. 全为零时，等式亦线性无关.
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线性表示.
成立，
才能成立，
则
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