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一、解答题

1． 设三阶方阵A 、B

满足式

的值.

其中E 为三阶单位矩阵.

若

求行列

【答案】

由矩阵

知则

. 可

逆.

又

故

即

所以

即

而

故

2．

设三维列向量组

（Ⅱ）

当

【答案】（Ⅰ）由于4

个三维列向量全为0

的数

又向量组记

和向量组向量

线性表示.

使得

线性无关；

向量组

则

线性无关，

列向量组

线性无关.

和向量组

线性表示；

（Ⅰ

）证明存在非零列向量

使得

可同时由向量组

时，

求出所有非零列向量

构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，

线性无关，故

不全为0

,

即存在非零列向量

不全为0.

使得

可同时由向量组

所有非零解，即可得所有非零

的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：

（Ⅱ）易知，

求出齐次线性方程组下面将方程组

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于是，方程组的基础解系可选为_意非零常数

.

因此，所有非零列向量

3． 已知

A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与由

的解.

对

得到所以矩阵

的基础解系为

则既可由

对

作初等行变换，有

不全为

当a=0时，解出

因此，Ax=0与Bx=0的公共解为

其中t 为任意常数.

线性表出，也可

有非零公共解，

求a 的值并求公共解.

知

贝腕阵

的列向量（即矩阵

作初等行变换，

有

又知齐

所有非零解_

t

为任

次方程组Bx=0的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

（

Ⅱ

）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0的非零公共解为

由

线性表出，故可设

于是

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4． 证明n

阶矩阵

与相似.

【答案】

设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，

故A 的n 个特征值为

且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且

所以B 的n

个特征值也为

=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1

重特征值

对于n-1

重特征值由于矩阵（0E-B ）

的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步

矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可

知n

阶矩阵

与相似.

二、计算题

5． 设n

阶行列式

把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转，依次得