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一、填空题

1． 设A 是n 阶实可逆矩阵，则

【答案】【解析】取

则P 为可逆矩阵，且

可见 2． 设

【答案】 -3

【解析】

秩

秩

而秩

秩

即

3． 设

是3阶方阵A 的伴随阵，

所以

4． 多项式

【答案】【解析】设

将

代入上式，得

由商式和余式的惟一性即得.

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的正惯性指数是_____, 符号差是_____.

的正、负惯性指数均为符号差为0.

B 为3阶非零矩阵，且则_________

则_____.

【答案】

【解析】因为

除以.

所得余式为_____..

二、计算题

5． 判断下列n 元二次型是否为正定的：

其中

【答案】①设A 是f 的矩阵. 则A 是一个主对角线上元素都是1, 其余元素都是的n 阶方阵. 任取A

的

阶顺序主子式

则是主对角线上元素都是1，

其佘元素都是的后阶行列式. 易知：

因此，f 是正定二次型. ②令

即

其中

易知又易知

故C 可逆.

故可知g 可通过实满秩线性变换得

由于右端不含

6． 设

故可知n 元二次型g 的秩小于n ，从而g 不是正定的.

求

.

【答案】将A 表成

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其中可交换，并且

所以

7． 确定常数，使向量组

线性表示，但向量组

组

线性表示.

【答案】解法1

记

线性表示，因此秩

所以

当当

或时

，

不能由

时，由于

故

线性表示，所以

可

由符合题意.

线性表示，

但

从而

由

子

不能

由

可由向量组

不能由向量

考虑线性方程鉬不能由

解法2记综上所述，可得

对矩阵

作初等行变换：

因为秽

秩

所以方程组

无解，即

线性表示，与题设矛盾.

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