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一、分析计算题

1． 设A ，B 分别为

证明：【答案】由|

和

行满秩实矩阵，矩阵，故正定. 因为

所以D 半正定. 由阵.

方法5矩阵分解法等如果矩阵A 有分解式：阵分解也是一种解 决问题的方法.

2． 设

对任意多项式

【答案】由

则A 的特征值是3, 3, -6.注意到A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵U , 使得

设

则

求

则C 列满秩时，A 正定；C 行满秩时，

A 半正定. 一般地，如果矩阵A 能分解成若干个简单矩阵的和、积等，则可能将问题化难为易，矩

正定，D 半正定，故

半正定，即

是半正定矩

而

是半正定矩阵. 由B 是行满

是半正定矩阵.

是

秩的，则是列满秩的，故

3． 设V 为欧氏空间,

则

证明:

是V 的一个线性函数；

③若V 是n 维, 则对其任一线性函数都存在唯一的向量使

【答案】是V 到实数域R 的映射显然. 又设

则由内积性质知:

故②设若从而

③任取V 的一标准正交基则对V 中任意向量

是V 的一个线性函数.

即

或

故得证.

令

由于

是线性函数而

即

4． 设

在

又的唯一性显然.

是一个n 级正定矩阵，而

中定义内积

为

（1）证明在这个定义之下, （2）求单位向量阵；

（3）具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式. 【答案】 （1）①②③④

因为A 正定，所以的条件，在这个定义之下，

（2）度量矩阵（3）

;

, 当且仅当成一欧氏空间.

时，

，所以这样的

满足内积

成一欧氏空间；

的度量矩

是标准正交基, 故

5． 举例说明断语“如果a 是

则

的m 重根，那么a 是的

重根”是不对的.

【答案】可以用反例来说明这一结论. 设

因此a 是 6．

设则

也是

的优重根，但是a 不是均为有理数，且的k 重根.

的根.

有理系数多项式

的k 重根，

为无理数，证明:若

【答案】由于显然有理数域Q 上多项式

在Q 上不可约|故又因为

从而' 是

是无理数且

的k 重根，故它也是

的根，但不是们的根，但却不是是

的k 重根.

的根. 由于这些都是Q 上多项式，于是由上面的证明知，的根（否则亦由上证明知，

. 将是

的根），因此，

. 也是它

），且又与

不互素（因为二者都有根

）

二、证明题

7． 证明:

（1）

其中（2）

是

的代数余子式；

【答案】（1）