2018年江苏师范大学数学与统计学院847高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为常数，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
考虑到
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
. 则
也不是线性变换，比如给
,
是.
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
有解矛盾），所以
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
矩阵，
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）.
【答案】C 【解析】而
3． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D.
使
则（ ）.
【答案】C 【解析】若当
时，
由
，用
右乘两边，可得
由
左乘
这与可得
矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，
故选C.
4． 设向量组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,
记
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】由已知，有
则（ ）.
线性无关.
于是
二、分析计算题
6． 设
（1）求A 的特征值与特征向量; （2）求
.
，所以A 的特征值为
, 得特征向量
，其中
为数域P 为不为零的任意常数.
故A 属于特征值1的全部特征向量为数.
（2）
令
，其中
为数域P 中不全为零的任意常
【答案】 （1）计算可得当
时，由
故A 属于特征值-2的全部特征向量为当
时，由
，得线性无关的特征向量
7． 设A , B为n 阶矩阵,
（2）设
【答案】 （1）由假设知A 有零化多项式阵. 进而设是A 的特征值, 则
证明:
, 则B 的特征值都是1次单位根.
且
所以相似于对角
. 即A 的特征值均为1次单位根. 此即
（1）A 相似于对角阵, 且对角线元素皆为1次单位根；