2018年兰州大学数学与统计学院801高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设 即证
2． 设A 、B 为满足
与
的解空间分别为
则
所以
的解都是线性方程组
的解, 则（ ）.
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似
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并记A 各列依次为
从而
线
由于不妨
可推得AB 的第一列知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
则A 与B （ ）.
D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
4． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 5． 设
A. 合同且相似
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使
,
故
再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式
线性无关.
所以向量组线性无关.
则A 与B （ ）.
C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
二、分析计算题
6． 设
求
.
【答案】将A 表成
其中可交换，并且
所以
7． 设A 是以未知 矩阵. 问：
（1）a ，b ，c 满足何种关系时
无解、有唯一解和无穷多解？
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为行向量的三阶方阵，X 是
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