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一、证明题

1． 证明：若在则有

【答案】

设分点的任何取法，只要

上可积，在

则由定积分定义，

对任给的

就有

由

现设

在由于

时，恒有

和

对于

上对

令

上的任何分割

用拉格朗日中值定理，得

，则

得从而当

的一个分

割时(此时

且

故

即

2． 设函数f 定义在

(1)

上，证明：

为偶函数；

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上严格单调且在上可积，使得对

的任何分割

及

上可积知

，

在

在上有界. 设如果

则此时

结论显然成立。

上连续，

又由于在

上可积，故有界，又由导函数的达布

使得当

及任意分点

在

且

定理知没有第一类间断点，故

在

上连续. 从而一致连续，故存在

满

足

有

且

(2) 为奇函数；

(3) f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.

【答案】f (x ) ，F (x ) 和G (x ) 的定义域关于原点都是对称的. (1) (2)

(3) 由(1) 、(2) 得F (x ) +G(x ) =2f(x ) , 于是数. 故f (x ) 可表示为一个奇函数与一个偶函数之和. 3． 设

为实数列，它满足不等式

【答案】由条件

知

将以上各式乘2后相加得

因为级数同理

于是

收敛，所以

由迫敛性知

又级数

收敛. 证明：

故F (x ) 为故G (x ) 为

而

上的偶函数. 上的奇函数. 是偶函数，

是奇函

二、解答题

4．

设

(2) 设

并求势函数。

【答案】

此时A 为有势场，势函数

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(1) 计算求

其中为螺旋线

(3) 问在什么条件下A 为有势场，

(3) 由(2) 知，当时

，

5． 求下列函数的傅里叶级数展开式：

【答案】(1) f (x ) 是以为周期的连续奇函数，故

由收敛定理

(2) f (x ) 是以2π为周期的连续偶函数，故

由收敛定理

6． 求下列不定积分：

【答案】⑴令

则

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