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一、证明题

1． 设

在

上有连续二阶导数，且

令

证明：

收敛.

有

由得

在

上有连续二阶导数，知于是，

利用比较判别法，由于

2．

设函数

【答案】因为

只要

对固定的

区间的长度

故对上述

则当

时，有

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【答案】由题设，对

：在上绝对可积，即存在使

收敛，则级数上一致连续，

且

收敛. ，

有

(n 为正整数). 试证

：

在

在

上一致连续，所以

，就有

且为正整数，将

区间等分. 记分点

取则每个小

由已知条件，对每个当

时，有

记

由式(1) , 有

本题亦可用反证法予以答: 若结论不对，则存在记由就有

于是，当充分大时，有

在_

则

由

因

为

再由式(2) , 有

_

故使

得

，对

，相应地存在

使得

上一致连续可知，对上述

只要

的有界性知，它存在一个收敛子列，不妨设为它本身，满足

从而有

由此可得

这与

3． 证明级数

【答案】取

则当

收敛的充要条件是：任给

由级数时有

由已知条件，存在正整数N ，

于是

及任意正整数P 有

由柯西收敛准则知级数

收敛. 证明

有

存在某正整数N , 对一切

收敛，则存在正整数

有

时，总有

的假设矛盾.

二、解答题

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4． 将函数

【答案】

展开成x 的幂级数.

本题亦可用待定系数法展开. 设

两边同乘以因此

并比较x 同次幂的系数，可得

5． 求由坐标平面及x=2, y=3, x+y+z=4所围的角柱体的体积.

【答案】立体V (如图) 在

面上的投射区域D —即积分区域为图中阴影部分，所以V 的体积

图

6． 设

应用链式法则计算

即

【答案】把看作以下三个变换的复合

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