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2017年延边大学理学院842代数与分析[专业硕士]考研冲刺密押题

  摘要

一、证明题

1. 设f (x ) 在

(1)

时,

上连续,满足:

由于f (x ) 在S 上连续,根据连续函数的性质,f (x ) 必在

和最小

2. 设

【答案】要证

即只要证因

证明只要证即证

因此只要证由

这表明

即只要证知

单调增加,假

如因此

矛盾.

证毕.

有上界,

必有极

所以

使得

(2) 对任意x 和正常数c , 求证:存在S 上

【答案】考虑有界闭集

那么

点分别取到它在S 上的最大

单调増加、没有上界,因此

3. 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.

【答案】不妨设

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得证;

于是有

同样,若若

且满足因为f (x ) 在由于

得证;

如此继续可得闭区间套

故有

处连续,故

所以

取满足

于是由闭区间套定理知存在惟一的

于是

二、解答题

4. 已知

【答案】首先证明

代入①的左端得

故①成立. 又因为

根据迫敛性可知,

所以函数

在原点

处连续.

【答案】

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试讨论函数,在原点(0, 0) 处是否连续?

5. 求由下列参量方程所确定的函数的二阶导数

所以

所以

6. 把长为1的线段截为两段,问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?

【答案】设一段长为x ,则另一段长为得

.

又因为

矩形的面积为是

于是,

的极大值点. 因此当两段长度均为时,矩

形面积最大。

7. 验证下列积分与路线无关,并求它们的值:

【答案】

所以积分与路径无关,取路径y=x,得

(2) 由路径

如图,则

所以积分与路径无关,取

(3) 因

故积分与路径无关,且

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