2017年延边大学理学院842代数与分析[专业硕士]考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设f (x ) 在
(1)
时，
上连续，满足：
由于f (x ) 在S 上连续，根据连续函数的性质，f (x ) 必在
和最小
值
2． 设
【答案】要证
即只要证因
故
证明只要证即证
因此只要证由
知
这表明
即只要证知
，
；
单调增加，假
如因此
矛盾.
证毕.
有上界，
则
必有极
限
由
若
记
所以
使得
(2) 对任意x 和正常数c , 求证：存在S 上
的
和
【答案】考虑有界闭集
那么
点分别取到它在S 上的最大
值
单调増加、没有上界，因此
3． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.
【答案】不妨设
若
取
若
若
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得证；
取
于是有
同样，若若
有
且满足因为f (x ) 在由于
取
得证；
若
如此继续可得闭区间套
且
故有
处连续，故
所以
取满足
于是由闭区间套定理知存在惟一的
于是
二、解答题
4． 已知
【答案】首先证明
令
代入①的左端得
故①成立. 又因为
根据迫敛性可知，
所以函数
在原点
处连续.
【答案】
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试讨论函数，在原点(0, 0) 处是否连续？
5． 求由下列参量方程所确定的函数的二阶导数
所以
所以
6． 把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？
【答案】设一段长为x ，则另一段长为得
.
又因为
故
矩形的面积为是
于是，
由
的极大值点. 因此当两段长度均为时，矩
形面积最大。
7． 验证下列积分与路线无关，并求它们的值：
【答案】
所以积分与路径无关，取路径y=x，得
(2) 由路径
如图，则
所以积分与路径无关，取
图
(3) 因
故积分与路径无关，且
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