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一、证明题

1． 设

【答案】由

知

且

又因为

有下界的. 所以，

数列边求极限，得到

2． 用方法证明

：

【答案】令

收敛. 令

解得

则

取

则当

时，有

即

3． 设

是具有二阶连续偏导数的函数，证明：

由

或

知

即

数列

是单调递减

两

(极限保号性) . 对证明：数列

收敛，且其极限为

舍去负根，因此

其中D 为光滑曲线L 所围的平面区域，而是

沿曲线L 的外法线n 的方向导数.

【答案】在格林公式中，以P 代替

代替P 得

其中n 是L 的外法线方向. (1) 在

中令

则得

即

(2) 在

中，令

则得

即

(c ) 式减

式得

二、解答题

4． 计算三重积分

其中

是由曲面

与对积分

所围的区域. 采用“先二后一”的方

【答案】由于积分区域关于yOz 平面对称，所以法，则有

5． 求函数

在该点切线方向导数. 【答案】因曲线过点

切线方向的方向余弦为：

而

故所求方向导数为：

6． 计算第二型曲线积分

(1)

沿逆时针方向；

在点处沿曲线

所以

于是

故曲线在点的

(2) 所以

的边界，沿逆时针方向。

【答案】(1) L的参数方程为

(2)

7． 分别求出满足下述条件的常数a 与b :

【答案】

8． 计算

【答案】令

则

所以

其中