2017年延边大学理学院623数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
在
上连续可导，证明：
【答案】方法一用积分中值定理. 因为
所以
方法二用分部积分法. 因为
而
所以
故
2． 用有限覆盖定理证明聚点定理.
【答案】设有界无限点集中每一点均
不
是则
为
的聚点，
则
使得
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显然若有聚点，则必含吁
使
得
中. 假设
为有限点集.
记中有限个邻
域
的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存
在
由于在
3． 设
中至少有一个聚点.
在
上可微，且对
满足
证明:【答案】
则
因此若一个点列
对
使得
另一方面，由令
可得
这显然与刚才的结论矛盾，所以
存在广义极限，记为L.
在
，则
上应用拉格朗日中值定理，存在
这表明在
使得
上存在
. 为有限点集
所以由上式知为有限点集，与假设矛盾. 故
二、解答题
4． 设a>0, 求曲线数为
对L 求偏导并令它们都等于0得
解之得
»
或因此
与
是
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上的点到xy 平面的最大与最小距离.
到xy 平面的距离d=z, 构造拉格朗日函
【答案】设P (x ，y , z) 为曲线上任一点，易知
的稳定点，且所求的条件
极值点在其中取得. 由于d=z
在有界闭集
时
5．
【答案】原式=
6． 求由下列方程所确定的隐函数的极值
.
【答案】⑴令
则有
将
代入原方程得.
故当(2) 设令舍去.
再以
故稳定点为
解得
代入原方程解得
时有极小值
时有极大值1. 则
于是该函数的稳定点为±1, 且
与
:时
上存在最大值与最小值，
因此
就是所求曲线上的点到xy 平面的最小与最大距离.
解此方程得
或
以再将
代入原方程，得
这时
解得
故
而
在稳定点
均有
及
的表达式中，得
可见
与异号. 故
所以在点
取极大值，
，在点
取极小值
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