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2017年延边大学理学院623数学分析考研题库

  摘要

一、证明题

1. 设

上连续可导,证明:

【答案】方法一用积分中值定理. 因为

所以

方法二用分部积分法. 因为

所以

2. 用有限覆盖定理证明聚点定理.

【答案】设有界无限点集中每一点均

是则

的聚点,

使得

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显然若有聚点,则必含吁

使

中. 假设

为有限点集.

记中有限个邻

的一个开覆盖,由有限覆盖定理知,存

由于在

3. 设

中至少有一个聚点.

上可微,且对

满足

证明:【答案】

因此若一个点列

使得

另一方面,由令

可得

这显然与刚才的结论矛盾,所以

存在广义极限,记为L.

,则

上应用拉格朗日中值定理,存在

这表明在

使得

上存在

. 为有限点集

所以由上式知为有限点集,与假设矛盾. 故

二、解答题

4. 设a>0, 求曲线数为

对L 求偏导并令它们都等于0得

解之得

»

或因此

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上的点到xy 平面的最大与最小距离.

到xy 平面的距离d=z, 构造拉格朗日函

【答案】设P (x ,y , z) 为曲线上任一点,易知

的稳定点,且所求的条件

极值点在其中取得. 由于d=z

在有界闭集

5.

【答案】原式=

6. 求由下列方程所确定的隐函数的极值

.

【答案】⑴令

则有

代入原方程得.

故当(2) 设令舍去.

再以

故稳定点为

解得

代入原方程解得

时有极小值

时有极大值1. 则

于是该函数的稳定点为±1, 且

:时

上存在最大值与最小值,

因此

就是所求曲线上的点到xy 平面的最小与最大距离.

解此方程得

以再将

代入原方程,得

这时

解得

在稳定点

均有

的表达式中,得

可见

与异号. 故

所以在点

取极大值,

,在点

取极小值

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