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一、证明题

1． 设

在

上连续可导，证明：

【答案】方法一用积分中值定理. 因为

所以

方法二用分部积分法. 因为

而

所以

故

2． 用有限覆盖定理证明聚点定理.

【答案】设有界无限点集中每一点均

不

是则

为

的聚点，

则

使得

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显然若有聚点，则必含吁

使

得

中. 假设

为有限点集.

记中有限个邻

域

的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存

在

由于在

3． 设

中至少有一个聚点.

在

上可微，且对

满足

证明:【答案】

则

因此若一个点列

对

使得

另一方面，由令

可得

这显然与刚才的结论矛盾，所以

存在广义极限，记为L.

在

，则

上应用拉格朗日中值定理，存在

这表明在

使得

上存在

. 为有限点集

所以由上式知为有限点集，与假设矛盾. 故

二、解答题

4． 设a>0, 求曲线数为

对L 求偏导并令它们都等于0得

解之得

»

或因此

与

是

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上的点到xy 平面的最大与最小距离.

到xy 平面的距离d=z, 构造拉格朗日函

【答案】设P (x ，y , z) 为曲线上任一点，易知

的稳定点，且所求的条件

极值点在其中取得. 由于d=z

在有界闭集

时

5．

【答案】原式=

6． 求由下列方程所确定的隐函数的极值

.

【答案】⑴令

则有

将

代入原方程得.

故当(2) 设令舍去.

再以

故稳定点为

解得

代入原方程解得

时有极小值

时有极大值1. 则

于是该函数的稳定点为±1, 且

与

:时

上存在最大值与最小值，

因此

就是所求曲线上的点到xy 平面的最小与最大距离.

解此方程得

或

以再将

代入原方程，得

这时

解得

故

而

在稳定点

均有

及

的表达式中，得

可见

与异号. 故

所以在点

取极大值，

，在点

取极小值

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