2017年中国传媒大学理学院819高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
2． 设行列式
所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
3． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）.
A.1 B. C.-1 D.
故
【答案】B 【解析】
但当a=l时，
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
分别为A ，B 的伴随矩阵，
即
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
二、分析计算题
6． 设A 是数域K 上的n 阶方阵，又f （x ）与g （x ）为K 上两个互素多项式，证明：n 元齐次线性方程组的直和.
【答案】由于因此，再证
于是得其中
故又若得
则.
两两距离均
为
令
于是
7． 已知n 维欧氏空间V 中n+1个向
量
则
（1）（2）【答案】（1）
线性无关.
（
2
）
设
有
用即为
若逐次用
与上式两端作内积，还可得
的解空间V 是故由
必有
任取
则
的解空间
都是V 的子空间.
与两端作内积，
得