2017年中国传媒大学理学院819高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为
2． 设n （n ≥3）阶矩阵
=（ ）.
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知
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【答案】B 【解析】
4． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
5． 设线性方程组的解都是线性方程组
【答案】（C ） 【解析】设即证秩
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
二、分析计算题
6． 设
①方阵②若【答案】①
若
反之，若
则存在多项式
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为方阵A 的最小多项式，
可逆
则
为任一次数大于零的多项式. 证明：
为降秩方阵.
则
可逆，
从而
但
是A 的最小多项式，
故必有
可逆，
则必有
使
②因为故若
满秩，则
可设
这与
故
必为降秩方阵.
又因为
是A 的最小多项式矛盾. 因此，
7． 在实数域上分解以下多项式：
【答案】但因为
故
为实数且
故为
当n 为偶数时，
在实数域上的分解为
则
且
于是得
此即g （x ）在实数域上的分解.
8． 证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.
【答案】令无关组.
（1）（2）（3）任一解是递性，任一解是
综上可知，
9． 设
（1）（2）当
与
等价，故每个是
：的线性组合. 又
皆为某齐
次方程组的解，它们的线性组合也是该方程组的解，故每个皆为该齐次方程组的解.
是线性无关的.
的线性组合，的线性组合.
是该齐次方程组的基础解系.
其中I 是”阶单位矩阵
，是n 维非零列向量
，的充要条件是
时，A 是不可逆矩阵.
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则
为实数域上的不可约多项式. 于是当n 为奇数时，在实数域上的分解
是某齐次线性方程组的基础解系，是与它等价的线性
又能由线性表出. 由线性表出的传
是的转置，证明：
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