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一、选择题

1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 2． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即 3． 设

是非齐次线性方程组

的两个不同解，

是

则Ax=b的通解为（ ）•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

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D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

为空间的两组基，且

由②有

的基础解系，

为任意常数，

所以

因此

不是

的特解，从而否定A , C.但D

由于

因此

线性无关，且都是

的解.

故是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.

4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，

记

A. B. C. D.

【答案】B

则（ ）.

【解析】由已知，有

于是

5． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

故

但当a=l时，

【答案】B 【解析】

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二、分析计算题

6． 设

和

是n 维欧氏空间V 中两个向量组. 证明存在一正交变换

的充分必要条件为

【答案】

记取

的一组标准正交基

取

的一组标准正交基

得到V

的两组基

这两组基的度量矩阵相等，都等于

使

作V 的线性变换. 对令

将表成

如下：

的线性组合：

则是V 的一个线性变换，且

对V 中任一个向量

则

所以

是一个正交变换，这就是满足条件的正交变换.

7． 设f （x ）和g （x ）是数域P 上两个一元多项式，k 为给定的正整数，求证：f （x ）∣g （x ）的充要条件是两边k 次方得

（2）再证充分性。设

则

。

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。

，其中

。

，

，【答案】（1）先证必要性。设f （x ）∣g （x ）则