2018年福建师范大学838线性代数与数学分析[专业硕士]之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列引力:（1）均匀薄片量的引力; （2）均匀柱体
,
, z=0, 对于轴上一点（0, 0, c ）, （c>0）处的单位质, （c>h）处的单位质量的引力; （3）对于点P （0, 0, c ）
均匀密度的正圆锥体（高h , 底半径R ）对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.
【答案】（1）设物体密度为u , 由对称性, 引力必在Z 轴方向上因此.
故
（2）设物体密度为, 则由对称性知
下求
故
其中k 为引力系数.
（3）设物体密度为, 由对称性知
, 只需求设顶点坐标为（0, 0, h ）,
由柱坐标变换（正圆锥体V 在xOy 面投影区域D :
）
.
则引力为
2． 求由分的区域, 则
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, 其中k 为引力系数.
所围的立体的体积.
上, 用
表示位于第一卦限部
yOz 平面对称. 在上半空间【答案】显见立体关于xOy 平面、
作广义球坐标变换:
故
3． 把
其中f （u ）为连续函数.
【答案】令
由于
所以
4． 判别下列反常积分的敛散性, 若收敛, 指出是绝对收敛？还是条件收敛？
（1）（2）（3）（4）
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上的n （）重积分化为单重积分,
则
其中
（5）
【答案】 （1）
易知, 当p>1时绝对收敛; 当又因为
而
所以当
综上所述,
当p>1时绝对收敛, 当（2）
其中x=0为
的瑕点, 因为
与
同阶, 所以
收敛, 因, 因为X>1时有
, 所以
, 由泰勒公式得
所以
而
条件收敛,
绝对收敛, 故原积分条件收敛.
是
阶无穷小, 又
而
是瑕点敛）
（4）
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时条件收敛.
时绝对收敛; 当时发散.
时条件收敛, 当时发散.
为绝对收敛.
对积分
（3）易知, 当时, 被积函数关于
,
故原积分仅当
且时收敛（绝对收
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