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一、证明题

1． 确定常数a , b , 使当

证明:

,

【答案】

于是

欲使f （x ）为三阶无穷小量, 必须有

时

,

为x 的3阶无穷小.

解之得

2． 证明:

（1）（2）【答案】（1）设界为M. 若记

. 因为

则

所以

在[0, 1]上连续并且有界,

注意到攸敛, 利用优级数判别法可知, 在[0, 1]上一致收敛.

由逐项积分定理, 有

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（2

） （2

）的证明包含在（1）的证明之中.

3． 试应用

定义证明:

时,

从而对任给

取

则当

时,

所以

4． 设f 为连续函数, 证明:

（1

）（2）

’则dx=-dt, 于是有

（2）令由此得

5． 设级数

收敛，证明

, 则dx=—dt , 从而

也收敛.

【答案】因为当

【答案】（1）从所要证明等式的被积函数来看, 应作代换

【答案】因为

又 6．

设

为

内的有界函数. 证明:

【答案】因为

在

内有界, 则存在

使得

. 对任意

利

在

内一致连续当且仅当

其中

及

收敛，故

收敛，所以由比较原则得

收敛.

用拉格朗日中值定理, 得

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其中介于和之间, 显然有于是有

由此可知

连续当且仅当,

在内一致连续当且仅当

结论得证.

在内一致连续

,

在内一致

二、解答题

7． 是否存在

由

时, 由

由又知由于是

这与连续, 可知

存在及的连续可导函数

知,

为满足:在

且

则

当

【答案】方法一 若存在满足这些条件的函数,

上严格单调递増, 又

由

存在, .

根据单调有界定理,

从而存在, 必有

矛盾, 所以假设不成立,

所以这样的函数不存在.

方法二 假若存在满足这些条件的函数, 由又由对于是从而显然, 当

8． 设

（1）gradr （2）（2）设

9． 设

（1）求证:（2）求【答案】（1）

知

, 得有

在

上严格单调递增,

时, 有

试求

这与条件矛盾, 所以这样的函数不存在.

【答案】（1）由

则

,

;

.

得

得