2018年福州大学软件学院611数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 若
（1）
, 级数
发散,
, 证明: •收敛.
. 由于, 于是有
由柯西准则知, 级数（2）因为
, 所以
而级数
2． 设
证明:f 在D 上连续, 但不一致连续.
【答案】显然, f 在D 上是连续的, 仅证f 在D 上不一致连续.
取当
无论及
时,
从而f （x , y ）在D 上不一致连续.
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发散; （2）
【答案】（1）用柯西准则 取
所以对固定的N , 存在
（固定）, 取适当大, 可使
趋向于
,
发散.
收敛于, 故收敛.
取得多么小,
当
取到某个, n 时,
总能使
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3． 设证明的充要条件是
则
时, 有则即
. 满足恒等式
即当
当
时, 有
时, 有
即
对
取
, 又因为
所以
【答案】必要性, 若对
取充分性, 若则当时, 有 4． 若函数
当
z ）则称F （x , y ，为k 次齐次函数
，
试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F （
x ，y , z ）为k 次齐次函数的充要条件是
:
并证明:
为2次齐次函数.
令
两边对t 求导得
充分性
设令
由己知，得所以（2）因为
5．
设
且
是一个严格开区间套, 即满足
证明:存在惟一的一点
使得
【答案】由题设知, 使得
6． 证明下列结论:
f x ）（1）若（在[a, b]上严格递增, 且对f x ）（2）设（与g （x ）在【答案】（1）假设从而有
, 则
）有
, 对任意正整数k ,
,
（正常数）, 即数列
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【答案】（1）必要性 由令t=l则有
求关于t 的偏导数得
于是仅是x , y , z 的函数，
记
，令
，
因此
所以z （x ，y ）为2次齐次函数
.
是一个闭区间套. 由区间套定理知, 存在惟一的点, 又因
, 所以
, 则, 则, 使得的子列
. 不以f
上有定义, g （x ）单调,
且
已知f （X ）在[a, b]上严格递增, 所以有
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（a ）为极限, 从而数列
当再证:当即
7． （1）设
（2）设【答案】（1）令
在时有
时有
也不以f （a ）为极限, 矛盾, 于是
.
由
（反证法）若结论不成立, 即存在
, 矛盾. 从而当
上非负递减, 证明
时
时有知
,
, 使得, 于是
, 即有极限L , 且
,
（2）不妨设g （x ）单调递增. 对
, 由g （x ）单调递增, 则有
, 证明数列
则
收敛.
则由于且
有下界, 又
在
上单调递减, 则
收敛,
两边取极限得则
其中,
从而单调递减, 从而由单调有界定理得
（2）令
由（1）知道可知
是
的瑕点, 当
时,
收敛, 令
,
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