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一、证明题

1． 证明下列结论:

（1）函数（2）符号函数【答案】（1）假设

不存在原函数;

不存在原函数. , 则

于是当x<0

时有

,

即

; 当X>0

时有

. 由于F （x ）连续,

所以

从而

这与（2）假设

矛盾.

. 由拉格朗日定理得

这说明F （x ）在点x=0不可导, 与.

2． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内二阶可导, 证明:

相矛盾.

, 使

【答案】记

, 则过三点

的抛物线为

令

, 则F （a ）=F（c ）=f（6）=0, 故存在

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使

而

又

由

3． 设f 为

立即可得出结论.

上的连续减函数,

; 又设

证明{an }为收敛数列. 【答案】因f （x ）为

内的连续函数, 所以

因此, 数列{an }有下界, 又因

可见{an }为递减数列, 由单调有界定理知{an }收敛.

4． 设f （x ）在[a, b]上有连续的导函数, f （a ）=0, 证明:

【答案】令

, 则

由f （a ）=0可知,

于是有

5． 证明:若f 在点x 0连续, 则必连续？

【答案】因为f （x ）在点x 0连续, 所以对任给

的时,

（1）由不等式

知, 由

时,

存

在

, 使得

当

与也在点x 0连续. 又问:若

或在Ⅰ上连续, 那么f 在Ⅰ上是否

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故（2）由（3）当

. 即

在点x 0连续.

在点x 0连续.

, 则

与

为

, 而|f|在x 0连续, 故

或在I 上连续时, f 在I 上不一定连续. 例如,

常值函数, 在R 上处处连续, 但f （x ）在R 上处处不连续. 6．

使得

【答案】根据题意,

满足

则

易知显然由⑴若若①

当

②当（2）若①当

使得②当存在

使得

综上所述, 存

在

使

得使

得

7．

设

在

上可微,

且对于任何

有

求证:对任何正整数n ,

有

时, 取

时

,

必有时, 必有使

得再

由

结论得证.

在某

.

又

在某

又

, （或者用保号性及介值定理,

存在

处达到最大值, 又

处达到最小值,

（或者用保号性及介值定理, 利用推广的罗尔定理, 存

在> 利用推广的罗尔定理, 存

在

使

得

则, 则

. , 若

则

则由推广的罗尔定理知, 存

在

, 使

得

时, 由于

.

证明存在非负单调数列

这样继续下去, 得到存在非负的单调增数

列

其中M 是一个与x 无关的常数.

【答案】由定积分的性质及积分中值定理有

其中

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