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一、证明题

1． 证明

:

分别取D 为

有

且

【答案】考虑二重积分因为

所以

故

2． 设函数f 在区间（a , b ）内的各阶导数一致有界, 即存在正数M , 对一切

证明:对（a , b ）内任一点x 与x 0有

【答案】任意

依题意有

其中

介于与x 之间.

又f 在（a , b ）上的各阶导数一致有界, 故

从而

由定理得

3． 设函数f 在（a , b）内可导, 且单调. 证明在（a , b ）上连续.

【答案】

设在

内递增且以

极限定理知,

因为f （x ）在x 0可导,

所以知,

在（a , b ）内连续

.

于是

, 由x 0的任意性

在（a , b ）内递增.

设

, 则

在某个

内递增且以和。

为上界,

为下界. 根据单调有界定理知, 极限

都存在. 再由导数

4． 用定义证明下列极限:

【答案】（1）不妨设

y>0., y>M时有

,

故

即（2）

.

, 由不等式.

得

于是取

, 则当

有

故

5． 设

,

其中表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明f （x , y ）在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在.

【答案】因为在正方形的任何部分内, 函数f 的振幅等于1. 所以二重积分不存在. 对固定的y , 若y 为无理数, 则函数f （x , y ）恒为零. 若y 为有理数, 则函数仅有有限个异于0的值,

因此

所以累次积分存在且

同理, 累次积分

6． 证明:

【答案】

于是, 对于有界性定理知, 存在

故

,

由于,

于是取

, ,

则当

,

.

,

为有界函数.

, 存在, 使得当

时.

对, 有. 在[—M , M]上, 由连续函数的

. 于是, 对于一切

, 使得当

为有界函数.

二、解答题

7． 试将

【答案】设又

按

的幂展开成幂级数. 则

,

故

所以

由

即

可得x>0, 所以

8． 设

【答案】

由

又

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9． 在曲线x=t, y=t, z=t上求出一点, 使曲线在此点的切线平行于平面x+2y+z=4,

【答案】对曲线上任意一点（x , y , z ）, 有设曲线在即

处的切线平行于平面x+2y+z=4, 则有

解之得

或

所以所求点为（﹣1, 1, ﹣1）或

10．设平面光滑曲线由极坐标方程

给出, 试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式. 【答案】曲线的直角坐标方程为

, 于是

求的定义域和解

得

从

而

的定义域

为