2018年东南大学经济管理学院601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明sinx
在
【答案】对于任意的
上一致连续.
有
对任给的sinx
在
,
取
, 则对一切
2． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, 且f （0）=0, f （1）=1, 求证:
【答案】设v （x ）满足
显然
满足（2）式. 于是
所以
3． 证明:对黎曼函数
【答案】
有
（当
. 即（1）式成立. 或1时, 考虑单侧极限） ,
当
时,
有
, 故
上一致连续
.
上的黎曼函数的定义为
对于任意的满足不等式的正整数q 只有有限个. 设内只有有限多个既约真分数使得
（若
为既约真分数, 则
取
.
若
使得则当
因而p 也只有有限个. 于是在
时, 有
内不含这有限个既约真分数.
则当
则当
故
4． 设f , g 在点x 0连续, 证明:
（1）若（2）若在某【答案】（1）令
, 则存在内有
, 使在其内有, 则, 则
, ,
, 在
存在, 则存在, 试问是否成立
则对任给
的
时, 有
于是,
取故
则当
即
.
存
在
使得
当内
和极限
由f , g在点x 0连续可知, F （x ）在x 0也连续. 根据连续函数的局部保号性, 对任何正数存在某于是, 当保不等式性可得
5． （1）证明:若
（2）若时,
, 使得对一切时,
有.
（2）因为f , g 在点x 0连续, 所以
【答案】（1）
设
（2）不一定成立. 例如, 取
则
这时
6． 证明:若级数
存在, 但与
不存在.
和
也收敛, 且
【答案】因为
又所以
及
均收敛, 所以
收敛, 故
收敛. 又因为
收敛, 故由柯西﹣施瓦兹不等式
及闵可夫斯基不等式
收敛, 则级数
对取极限, 进而可得所证明的不等式.
, 证明:
.
（*）
7． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且
（1）（2）又若【答案】由
,
, 则又有
知f （x ）为凸函数, 所以根据定理, 对[a, b]上任意两点x , t 有
, 得
（1）在（*）式中令
在[a, b]上两边对x 求定积分, 得
故有
（2）（*）式两边在[a, b]上对t 定积分, 得
从而对任意的
, 有
由即
8． 证明:若
【答案】若从而
为递增数列, 则无界,
则
等式成立. 若
有界, 由单调有界原理可得
存在,
, 可得
. 故有
二、解答题
9． 设
【答案】对于
’试求f 在[0, 1]上的上积分和下积分; 并由此判断f 在[0, 1]上是否可积. 的任意分割T , 在间
上,
, 所以有