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一、计算题

1． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到三级品的概率.

【答案】设取到三级品的概率为P ，则取到二级品的概率为2p ，取到一级品的概率为6p , 由6p +2p +P=1，解得 2． 设随机变量X 和Y 相互独立, 且均服从参数为1的指数分布,

求: （1）随机变量V 的概率密度（2）

故V 的概率密度为

（2）解法1:

故U 的概率密度为

解法2:因为

3． 设一个人一年内患感冒的次数服从参数效（能将泊松分布的参数减少为

, 故

的泊松分布. 现有某种预防感冒的药对

. 的人有

. 的分布函数为

；

【答案】 （1）X 与Y 的分布函数均为

的分布函数为

），对另外的的人不起作用. 如果某人服用了此药，一年

内患了两次感冒，那么该药对他（她）有效的可能性是多少？

【答案】记事件A 为“服用此药后，一年感冒两次”，事件B 为“服用此药后有效因为

因此所求概率为

4． 设总体为估计.

【答案】由题意知，观测值为正的频率

下面计算观测值为正的概率. 当总体为

其中为标准正态分布的分布函数. 利用频率替换概率的方法有这给出参数的矩估计为

譬如，若设

则由上式知是标准正态分布的

5． 设P （AB ）=0, 则下列说法哪些是正确的？

（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容； （3）AB 是不可能事件； （4）AB 不一定是不可能事件； （5）P （A ）=0，或P （B ）=0; （6）P （A-B ）=P（A ）.

【答案】为了回答这个问题，先要明确一个命题:不可能事件的概率为零，但反之不然，即零，概率事件不一定是不可能事件，譬如，向区间[0, 1]上随机投点（其坐标记为x ）则点x 落在[0.2, 0.5]和[0.2, 0.5）内的概率皆为0.3, 这说明事件“x =0.5”的概率为零，但它是可能发生的事件.

（1）不正确，如A =[0.1, 0.2], B =[0.2, 0.3]. （2）不正确，如A =[0.1, 0.2），B =[0.2, 0.3]. （3）不正确，如（1）中的反例. （4）正确.

（5）不正确，如（1）中的反例. （6）正确.

6． 设随机变量X 与V 相互独立，且

试证:

与

相互独立，且

【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为

现对该总体观测n 次，发现有k 次观测值为正，使用频率替换方法求的

时，

分位数，

下求

的联合密度函数，因为

的反函数为

且变换的雅可比行列式为

所以，当

时，有

可见

可分离变量，故U 与V 相互独立，其中

7． 在一本书上我们随机地检查了10页，发现每页上的错误数为

试计算其样本均值、样本方差和样本标准差. 【答案】样本均值样本方差

样本标准差

8． 设

是来自总体X 的简单随机样本, X 的概率密度为

记

.

和最大似然估计量；

得A 的矩估计量

（1）求的矩估计量【答案】 （1）

令

（2）求Y 的数学期望EY 的最大似然估计量.