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一、计算题

1． 设:

是从正态总体

中抽取的样本，试求样本均值

的标准差.

此

【答案】来自正态分布的样本均值仍服从正态分布，均值保持不变，方差为原来方差的

处总体方差为9，样本容量为8，

因而的标准差为.

2． 一商店经销某种商品，每周进货量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间周的平均利润.

【答案】记Z 为此商店经销该种商品每周所得的利润，由题设知

由题设条件知

的联合概率密度为

于是

3． 某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（元）服从客的消费额是相互独立的. 试求:

（1）该餐厅每天的平均营业额； （2）该餐厅每天的营业额在平均营业额【答案】记

为第i 位顾客的消费额，则

元内的概率.

所以

上的均匀分布，且顾

其中

上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了

进货量，则可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元. 试求此商店经销该种商品每

而该餐厅每天的营业额为（1）该餐厅每天的平均营业额为

（2）利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得

这表明:该餐厅每天营业额在23240到24760元之间的概率近似为

4． 在一批灯泡中抽取300只作寿命试验，其结果如下:

表

在显著性水平为0.05下能否认为灯泡寿命服从指数分布【答案】这是一个检验总体是否服从指数分布

本题中总体分成4类，在原假设成立下，每类出现的概率及

?

的假设检验问题.

分别为

因而，检验的统计量为

这里k=4, 检验拒绝域为由于

，若取

，则

.

未落入拒绝域，故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05下可以认为灯泡寿命

服从指数分布此处检验的p 值为

5． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？

【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作的元件数.

则

对X 而言，系统有效的概率为

对Y 而言，系统有效的概率为

根据题意，求满足下式的P :

，

即

上述不等式可简化为从而有

，或

或

6． 若

【答案】因为

7． 设

是来自

，如果A ，B 相互独立，试证:A , B 相容.

，所以

，即A ，B 相容.

成立？

的样本，问n 多大时才能使得因而

【答案】样本均值

所以

立.

8． 设随机变量X 的分布函数为

这给出即n 至少为62时，上述概率不等式成

试求X 的概率分布列及【答案】X 的概率分布列为

表

1

二、证明题

9． 设

是来自

的样本，

是来自

的样本，两总体独立.c ，

d 是任意两个不为0的常数，证明

其中

【答案】由条件有

且

相互独立，故

与分别是两个样本方差.