当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 将3个乒乓球放入4个杯子中, 求杯子中球的最大个数为1, 2, 3的概率.

【答案】设事件

表示“杯中球的最多个数为”, 3个球放入4个杯子中共有

种,

即

中不同方法,

表示“4个杯子中有3个杯子各有一球”, 则不同放法共有

表示“4个杯子中有一个杯子有2个球, 有个杯子有1个球”, 则共有

种不同放法, 即

中放法,

；

表示“3个球都放入了一个杯子中”, 则共有即

2． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.

【答案】令

即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然

1，其中

因为每台设备的利润为

3． 设

, 所以每台设备的平均利润为

是来自Rayleigh 分布

的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为

（1）求此分布的充分统计量；

（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题

的拒绝域；

（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】 （1）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知，的充分统计量是:（2）注意到

由此可见故对

是

的无偏估计. 当

的拒绝域为

其中c 由概率等式可以证明，当由此可得在原假设由等式

时，，或者

成立下，有

可得

记

是

分布的

分位数，可得

譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由

可知

时，

所以

c=21.887.

时，将拒绝原假设

，从而有

在原假设

成立下，有

这里

可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，

.

确定. 为了确定c ，需要充分统计量

，

利用分布的分位数可确定临界值C.

的分布.

较大时，拒绝原假设

是合理的.

.

故由中心极限定理知, 从而有

故由等式则有

可得，记为标准正态分布的分位数，

即

若

查表得

从而

这个结果与（2）定出的精确值较为接近.

4． 设二维随机变量

在矩形

上服从均匀分布，记

求U 和V 的相关系数.

【答案】因为区域G 的面积为2, 所以

的联合密度函数为

因此（如图）

图

这说明:

所以

又因为

所以U 和V 的相关系数为