2017年西南交通大学概率论(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 在生产中积累了32组某种铸件在不同腐蚀时间x 下腐蚀深度y 的数据，求得回归方程为
且误差方差的无偏估计为（1）对回归方程作显著性检验（2）求样本相关系数；
（3）若腐蚀时间x=870，试给出y 的0.95近似预测区间. 【答案】（1）由已给条件可以得到因此
表
把这些平方和移至如下方差分析表上，继续计算
总偏差平方和为0.1246. 列出方差分析表；
若取显著性水平归方程检验的p 值为
则因此回归方程是显著的，此处，回
这是一个很小的概率，说明回归方程显著性很高. （2）样本相关系数
（3）若腐蚀时间x=870，则y 的预测值为
其0.95近似预测区间的半径为
从而y 的0.95近似预测区间为
2． 利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在（0.4, 0.6）间的概率至少为0.9. 如何才能更精确地计算这个次数？是多少？
【答案】
均匀硬币正面朝上的概率
, 据题意
选取次数n 应满足
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设为n 次抛硬币中正面朝上的次数,
则有
此式等价于, 利用切比雪夫不等式估计上式左端概率的上界
再由不等式可得粗糙的估计即抛均匀硬币250次后可满足要求.
3． 设总体概率函数如下，
（1）（2）（3）
是样本，试求未知参数的最大似然估计.
【答案】（1）不难写出似然函数为
对数似然函数为
将之关于求导并令其为0得到似然方程
解之可得
而故
的最大似然估计.
（2）此处的似然函数为
它只有两个取值：0和1，为使得似然函数取1，的取值范围应是而的最大似然估计可取
（3）由条件，似然函数为
要使
尽量大，首先示性函数应为1，这说明
的最大似然估计应为
其次
要尽量小，
中的任意值. 这说明MLE 可能不止一个.
因
综上可知，的最大似然估计应为
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4． 在一时内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是0.9，0.8和0.85，求一小时内
（1）没有一台机床需要维修的概率； （2）至少有一台机床不需要维修的概率； （3）至多只有一台机床需要维修的概率.
【答案】设事件A ，B ，C 依次表示甲、乙、丙三台机床需要维修. （1）（2）（3）
，对k=l，2，3，求
与
5． 设
【答案】因为
所以
6． 某单位调查了520名中年以上的脑力劳动者，其中136人有高血压史，另外384人则无，在有高血压史的136人中，经诊断冠心病及可疑者有48人，在无高血压史的384人中，经诊断为冠心病及可疑者的有36人. 从这个资料，对高血压与冠心病有无关联做检验，取
表示
【答案】该题完全类似于上题. 用A 表示有无高血压，它有两个水平：表示有高血压史，表示无高血压史，用B 表示诊断结果，它也有两个水平：表示诊断为冠心病及可疑者，诊断结果正常. 则由已知得下表：
表
高血压与冠心病无关联，即A 与B 是独立的. 统计表示如下：
此列联表独立性检验的统计量可以表示成
检验的假设为
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