2017年西华师范大学综合数学之概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设电路由A ，B ，C 三个元件组成，若元件A ，B ，C 发生故障的概率分别是0.3，0.2，0.2，且各元件独立工作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率：
（1）A ，B ，C 三个元件串联； （2）A ，B ，C 三个元件并联；
（3）元件A 与两个并联的元件B 及C 串联而成.
【答案】设事件A ，B ，C 分别表示元件A ，B ，C 发生故障.
（1）因为串联电路中任一元件发生故障，则电路发生故障，于是所求概率为
（2）因为并联电路中所有元件发生故障，则电路发生故障，于是所求概率为
（3）由题意知，所求概率为
2． 某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得其平均质量为2.36（kg ），样本标准差为0.57（kg ）, 取使用原料B 生产的样品24件，测得其平均质量为2.55（kg ），样本标准差为0.48（kg ），设产品质量服从正态分布，两个样本独立，问能否认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大（取
）？
【答案】设X 为使用原料A 生产的产品质量，Y 为使用原料B 生产的产品质量，
则
由问题的陈述，我们看到这是关于两总体均值的检验问题，且为了
能够显著地认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 大，必须将该陈述作为备择假设，只有当拒绝与之相对立的原假设时，才能说明使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大，因此，可建立如下假设检验问题
为完成此假设检验，应先对两总体的方差是否相等进行检验，若接受本t 检验；若
不成立，则可以用近似t 检验，对于检验问题
观测值未落入拒绝域内，由此可以认为两个总体的
则
.... 故拒绝域为
第 2 页，共 27 页
可以使用两样
可
计算如下检验统计量
若取拒绝域为若取
贝
!J
方差相等，下面我们在方差相等的假定下检验上述关于均值的假设，此处可使用两样本t 检验，
由所给条件，计算得
由于
因此在显著性水平
时，应接受原假设
即使用原料B 生
产的产品平均质量没有显著地超过使用原料A 生产的产品平均质量.
3． 指出下列事件等式成立的条件.
（1）（2）AB=A. 【答案】⑴（2）
4． 从n 个数1，2，…，n 中任取2个，问其中一个小于k （l 【答案】从n 个数中任取2个，共有当于将1，2, …，n 分成三组： 于是所求事件是从第1组中任取1个且从第3组中任取1个，这共有于是所求概率为 5． 某种圆盘的直径在区间（a ，b ）上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积. 【答案】记X 为圆盘的直径，则圆盘的面积为 所以平均面积为 6． 在入户推销效果研究中，分别用Hartley 检验和Bartlett 检验在显著性水平总体作方差齐性检验. 【答案】在习题中，r=5，每组样本量相同，均为7，可以采用Hartlev 检验，由于样本量大于5，也可以采用Bartlett 检验. 我们首先用Hartley 检验对等方差性作判断. 通过习题的解答我们可以算出各组内的平方和分别为 利用公式 可求得各组的样本方差 第 3 页，共 27 页 种等可能的取法. 而其中一个小于k 、另一个大于k 相 种取法. 下对五个 因而统计量H 的值为 对显著性水 平 由表查 得 从而拒绝域 为 且 于是Bartlett 检验统计量为 对显著性水 平 故应接受原假设 查表 知 拒绝域 为 由 于 即认为诸水平的方差满足方差齐性条件. 两种检验的结果是一致的. 由 于 所以应该接受原假设即认为各个总体方差相等. 接下来计算Bartlett 检验统计量. 习题中已求得 7． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，定 而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润. 【答案】令 ，其中 即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然Y 〜b （1，p ） 因为每台设备的利润为Z=100-300Y，所以每台设备的平均利润为 8． 己知 【答案】由乘法公式知 所以 二、证明题 9． 设 也是一个分布函数. 【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. 第 4 页，共 27 页 都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：