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一、计算题

1． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

试求

当

时,

由此得

2． —个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率.

【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有

设所求事件为

样本点共有本点总数

它为

由此得所求概率为

可算得：

3． 设一页书上的错别字个数服从泊松分布

有两个可能取值：1.5和1.8, 且先验分布为

现检查了一页，发现有3个错别字，试求λ的后验分布. 【答案】

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【答案】先求条件密度函数. 所以

个样本点.

事件

发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，否则不

个，当k 从0到n 累加起来就得事件

所含样

可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n-k 次，这样共游动2n 次，此种

因此

由以上结果我们可以得到λ的后验分布

4． 从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋中进行有返回地摸球，直到摸到白球时停止. 试求取出黑球数的期望.

【答案】令X 为取到白球时已取出的黑球数，则Y=X+1服从几何分布E （Y ）=（n+m）/m=n/m+l，由此得E （X ）=E（Y ）-l=n/m. 5． 设

【答案】因为

6． 测得两批电子器件的样品的电阻（单位：）为

表

设这两批器材的电阻值分别服从分布（1）试检验两个总体的方差是否相等（取（2）试检验两个总体的均值是否相等（取

； ））.

，且两样本独立.

独立同分布, 且都服从. 的特征函数为

分布, 试求

的分布.

的特征函数为

所以由诸的相互独立性得

所以

, 这正是正态分布的特征函数,

所以由唯一性定理知

【答案】（1）对于检验两总体方差是否一致，应使用F 检验，此处，由样本数据计算可得到

若

取

或

则

而

，

其拒绝域

为

由于F 值没有落入拒绝域内，可以认为两个总体的方差相等.

（2）因为在（1）中已经接受了两总体方差一致这一事实，从而在检验均值情况时，可以用两样本t 检验，当

时，

拒绝域为

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这里有

故接受可认为两个总体的均值相等.

若我们关心的是y 如何依赖x 的取值而变动，则

7． 对给定的n 组数据可以建立如下回归方程

反之，若我们关心的是x 如何依赖y 的取值而变动，则可以建立另一个回归方程

试问这两条直线在直角坐标系中是否重合？为什么？若不重合，它们有元交点？若有，试给出交点的坐标.

【答案】一般不重合. 因为回归方程

可化为

而

化为

当且仅当数据

时两条直线重合. 我们知道，

表示相关系数的绝对值为1，即n 组

1，2，…，n 在一条直线上，这在实际中极其罕见，所以说“一般不重合”.

不重合时，它们一定有交点

8． —盒晶体管中有8只合格品、2只不合格品. 从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出合格品的概率.

【答案】记事件

为“第i 次取出合格品”，i=l，2. 用全概率公式

二、证明题

9． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:

【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为

所以

10．同时掷5枚骰子，试证明：

（1）P （每枚都不一样）=0.0926；

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