2017年华南农业大学资源环境学院601高等数学之高等数学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性:
【答案】
由于
故
于是，当p 为奇数时，有
当p 为偶数时，有
因此，对任意给定的正数
取正整数
。当n>N时，对任何正整数p ，都有
根据柯西审敛原理知，级数收敛.
（2）当n 是3的倍数时，如果取p=3n，则必有
于是对不论N 为何正整数，当n>N并n 是3倍的时候，且当p=3n时，就有
根据柯西审敛原理知，级数发散. （3）
由此可知，对任意给定的正数ε，取正整数都有
（4）本题与（2）类同，因不论n 取什么正整数，取p=n时，就有
，当n>N时，对一切正整数p ，
按柯西审敛原理，该级数收敛。
故对
因此该级数发散.
2． 求下列函数在给定点处的导数：
（1）（2）（3）【答案】（1）
，求，求
和。
；
，求f ’（0）和f ’（2）。
（2）
（3）
3． 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小? 这时底直径与高的比是多少?
【答案】己知圆柱形油罐的表面积
令由此时
, 即
:
, 得
,
, 知
为极小值点, 又驻点惟一, 故极小值点就是最小值点。,
所以当底半径为
和高
时, 才能使表面
, 即
积最小。这时底直径与高的比为1:1。
4． 求函数
【
在点（0, 0）的n 阶泰勒公式。
答
案
又
将以上各项代入n 阶泰勒公式，便得
其中
】