当前位置:问答库>考研试题

2016年首都师范大学初等教育学院高等数学复试,复试笔试仿真模拟题

  摘要

一、计算题

1. 求函数

的泰勒级数,并验证它在整个数轴上收敛于这个函数。

【答案】在定点x 0处,因故

的泰勒级数为

因为对任意的有

,而(其中介于x 0\与x 之间)

所以在整个数轴上,有

于是得

2. 求直线

在平面

上的投影直线的方程.

【答案】作过已知直线的平面束,在该平面束中找出与已知平面垂直的平面,该平面与已知平面的交线即为所求.

设过直线得由得

. 代入平面束方程,得

的平面束方程为

. 因此所求投影直线的方程为

3. 设有直角三角形,测得其两直角边的长分别为(7士0.1) cm 和(24士0.1) cm. 试求利用上述两值来计算斜边长度时的绝对误差.

【答案】设两直角边长度分别为x 和y ,利用勾股定理,得斜边长度为

计算得

当x=7,y=24,

时,计算得

即计算斜边长度z 的绝对误差约为0.124cm.

4. 求曲线y=sinx往具有下列横坐标的谷点处切线的斜率:

【答案】由导数的几何意义知

5. 利用定积分的几何意义, 求下列积分:

【答案】(l )根据定积分的几何意义,

表示的是由直线y=x, x=t以及x 轴所围成的直

, 故有

以及x

, 梯形的高为

,

角三角形面积, 该直角三角形的两条直角边的长均为t , 因此面积为

(2)根据定积分的几何意义,

轴所围成的梯形的面积,

该梯形的两底长分别为

表示的是由直线

因此面积为21。故有

(3)根据定积分的几何意义,

表示的是由直线

以及x 轴所和x 轴所围

围成的图形的面积。该图形由两个等腰直角三角形组成, 分别由直线成, 其直角边长为1, 面积为

由直线y=x, x=2和x 轴所围成, 其直角边长为2, 面积为2。因此(4)根据定积分的几何意义, 半圆的面积, 因此有

6. 计算半立方抛物线

被抛物线

截得的一段弧的长度。

表示的是由上半圆周

以及x 轴所围成的

【答案】联立两个方程得到两条曲线的交点为和,由于曲线关于

x 轴对称,因此所求弧段长为第一象限部分的2倍,第一象限部分弧段为

,故所求弧的长度为

二、证明题

7. 验证拉格朗日中值定理对函数

【答案】函数

在区间

满足拉格朗日中值定理条件,从而至少存在一点

在区间

8. 验证

【答案】由因

故y 1与y 2都是方程的解。

在区间

,使

上的正确性。

上连续,在(0, 1)内可导,故f (x )在

知上是正确的。 都是方程,得

, 因此拉格朗Et 中值定理对函

及的解,并写出该方程的通解。 由

,得