2016年首都师范大学初等教育学院高等数学复试,复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1. 求函数
的泰勒级数,并验证它在整个数轴上收敛于这个函数。
【答案】在定点x 0处,因故
的泰勒级数为
因为对任意的有
,而(其中介于x 0\与x 之间)
所以在整个数轴上,有
于是得
2. 求直线
在平面
上的投影直线的方程.
【答案】作过已知直线的平面束,在该平面束中找出与已知平面垂直的平面,该平面与已知平面的交线即为所求.
设过直线得由得
. 代入平面束方程,得
的平面束方程为
. 因此所求投影直线的方程为
3. 设有直角三角形,测得其两直角边的长分别为(7士0.1) cm 和(24士0.1) cm. 试求利用上述两值来计算斜边长度时的绝对误差.
【答案】设两直角边长度分别为x 和y ,利用勾股定理,得斜边长度为
计算得
当x=7,y=24,
时,计算得
即计算斜边长度z 的绝对误差约为0.124cm.
4. 求曲线y=sinx往具有下列横坐标的谷点处切线的斜率:
【答案】由导数的几何意义知
5. 利用定积分的几何意义, 求下列积分:
【答案】(l )根据定积分的几何意义,
表示的是由直线y=x, x=t以及x 轴所围成的直
, 故有
以及x
, 梯形的高为
,
。
角三角形面积, 该直角三角形的两条直角边的长均为t , 因此面积为
(2)根据定积分的几何意义,
轴所围成的梯形的面积,
该梯形的两底长分别为
表示的是由直线
因此面积为21。故有
(3)根据定积分的几何意义,
。
表示的是由直线
以及x 轴所和x 轴所围
围成的图形的面积。该图形由两个等腰直角三角形组成, 分别由直线成, 其直角边长为1, 面积为
由直线y=x, x=2和x 轴所围成, 其直角边长为2, 面积为2。因此(4)根据定积分的几何意义, 半圆的面积, 因此有
6. 计算半立方抛物线
被抛物线
截得的一段弧的长度。
表示的是由上半圆周
以及x 轴所围成的
【答案】联立两个方程得到两条曲线的交点为和,由于曲线关于
x 轴对称,因此所求弧段长为第一象限部分的2倍,第一象限部分弧段为
,故所求弧的长度为
,
二、证明题
7. 验证拉格朗日中值定理对函数
【答案】函数
在区间
满足拉格朗日中值定理条件,从而至少存在一点
由
在区间
8. 验证
【答案】由因
故y 1与y 2都是方程的解。
在区间
,使
上的正确性。
上
上连续,在(0, 1)内可导,故f (x )在
可
知上是正确的。 都是方程,得
, 因此拉格朗Et 中值定理对函
数
及的解,并写出该方程的通解。 由
,得
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