2016年曲阜师范大学数学科学学院高等数学复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设f （x ）可导，求下列函数的导数
。
【答案】（2）
2． 求曲线y=sinx往具有下列横坐标的谷点处切线的斜率:
【答案】由导数的几何意义知
3． 己知边长为x=6m与y=8m的矩形，如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm ，问这个矩形的对角线的近似变化怎样?
【答案】举行的对角线的长为
，则
当x=6，y=8，△x=0.05，△y=﹣0.1时
所以这个矩形的对角线的长减少大约5cm 。
4． 设
, 试证下列各题
【答案】
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。
（4） 5． 设
（1）求
（2）分别讨论在y>0且x<1且关。
【答案】（1）记
，由于
，其中C 是椭圆周
时，积分
，取逆时针方向；
是否与路径无
可考虑用格林公式计算J 。因为P ，Q 在点（0，0）处没定义，所以不能在C 所围的区域D 上直接用格林公式。但可在D 中挖掉以（0，0）为圆心，用格林公式，见下图。求解如下:
充分小为半径的圆所余下的区域中
以（0，0）为圆心，，在
上用格林公式得
，充分小为半径作圆周C ; （取顺时针方向）
与C
围成的区域记为
其中
取逆时针方向。
后，可用
的方程化简被积表达式，然后用格林公式得
其中
为
所围成的圆域。
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用“挖洞法“求得
（2）Y>0是单联通区域，且有区域D ：
，因此，在Y>0中积分
不是单联通区域，题（1）中已求出
与路径无关。
取使得它含在D 中，因为在D 中存在一条闭曲线，使得
在区域D ：
且内时，积分不是与路径无关的。
（y 轴铅直向上, 单位为m ）作俯冲飞行。在坐标原点O 处飞
6． 一飞机沿抛物线路径机的速度为的反力。
【答案】
, 飞行员体重G=70 kg。求飞机俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员
抛物线在坐标原点的曲率半径为
所以向心力为
座椅对飞行员的反力F 等于飞行员的离心力及飞行员本身的重量对座椅的压力之和, 因此,
二、证明题
7． 验证当求
时, 按公式
计算
的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并
的近似值, 使误差小于0.01。 【答案】设
则
, 故
的三阶麦克劳林公式为
, 其中介于0, x 之间。
按当
时,
计算
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的近似值时, 其误差为