2018年安徽农业大学动物科技学院314数学(农)之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设数为
是来自均匀分布
的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函
，其中与是两个已知的常数.
（1）验证:帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】 （1）要使
与
与的联合分布为同时成立，必须’
，所以的后验分布为
，
这是一个参数为
与
的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.
（2）若选用后验期望估计，则
2． 设某班车起点站上客人数X
服从参数
的泊松分布,
每位乘客在中途下车的概率为
, 且中途下车与否相互独立, 以Y 表示在中途下车的人数, 求:
（1）在发车时有n 个乘客的条件下, 中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量
的概率分布.
【答案】 （1）求在发车时有n 个乘客的条件下, 中途有m 人下车的概率,
相当于求条件概率
.
将每位乘客在中途下车看成是一次试验, 且每个人下车是独立的, 有n 个人相当于做了n 次独立重复试验. 若将乘客下车视为试验成功, 不下车视为试验失败, 而且每次试验成功的概率都为P , 则问题（1）转化为n 重伯努利试验中m 次成功的概率. 因此条件概率服从二项分布, 即
（2）求二维随机变量因为X 服从参数故其中
3． 设
.
为相互独立的随机变量，且都服从（0, 1）上的均匀分布，求三者中最大者大于其
三者中取值处于中间
则
因此所求概率为
注:上述积分中使用了恒等式
4． 设
为自由度为n 的t 变量，试证:
的极限分布为标准正态分布
其中
故的特征函数为
的概率分布, 其实就是求
的泊松分布, 则
,
, 利用乘法公式, 有
他两者之和的概率.
【答案】
记的，或可将
看成为
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知且X 与Y 相互独立. 由Y 的特征函数为考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
再按依概率收敛性知
这就证明了
的极限分布为标准正态分布
注:此结论也可从自由度为n 的t 分布的密度函数直接导出，只是推算稍微复杂一些.
5． 设a 为区间上的一个定点，随机变量X 服从区间上的均匀分布. 以Y 表示点X
到a 的距离. 问a 为何值时X 与Y 不相关.
【答案】由题设条件知
又因为
所以由此方程等价于
从中解得在
内的实根为
即
时，X 与Y 不相关.
与样本量
误差均方和
可得方程
6． 在垫片的耐磨试验中，关于磨损率有四个样本，它们的样本方差与其自由度分别为
现要对“四个总体方差彼此相等”的假设作出判断.
【答案】由于四个样本量不全相等，其中有一个样本量小于5, 故选用修正的Bartlett 检验进行方差齐性检验. 为此先计算一些中间结果，它们是
由此算得修正的Bartlett 检验统计量
对给定的显著性水平由于
，查表得，
，故不拒绝原假设，可认为四个总体方差彼此相等.